Даны точки А(1;4), В(5;5),С(6;2), Д(2;1). Докажите, что четырёхугольник –АВСД-параллелограмм. Вычислить длины векторов ДВ и АС.

Чтобы доказать, что четырёхугольник АВСД является параллелограммом, нам нужно убедиться, что противоположные стороны параллельны.

Для начала, найдём уравнения прямых, проходящих через соответствующие точки.

Уравнение прямой, проходящей через точки А(1;4) и В(5;5), можно найти, используя формулу (y-y₁) = m(x-x₁), где m - наклон прямой и (x₁,y₁) - координаты одной из точек, через которую проходит прямая.

(x₁,y₁) = (1,4)
(x,y) = (5,5)
(y-4) = m(x-1)

Раскроем скобки:
y-4 = mx - m
y = mx + (4 - m)

Уравнение прямой, проходящей через точки С(6;2) и Д(2;1):
(x₁,y₁) = (6, 2)
(x,y) = (2, 1)
(y-2) = n(x-6)

Раскроем скобки:
y-2 = nx - 6n
y = nx + (2 - 6n)

Чтобы доказать, что прямые АВ и СД параллельны, нам нужно убедиться, что их наклоны равны.

В уравнении первой прямой (АВ) m = 1/4
В уравнении второй прямой (СД) n = 1/4

Таким образом, наклоны обеих прямых равны, что означает, что АВ и СД параллельны.

Теперь найдём длины векторов ДВ и АС.

Длина вектора можно найти с помощью формулы длины вектора:
|ДВ| = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²), где (x₁, y₁) и (x₂, y₂) - координаты концов вектора.

Координаты точки Д - (2, 1)
Координаты точки В - (5, 5)

|ДВ| = √((5 - 2)² + (5 - 1)²)
|ДВ| = √(3² + 4²)
|ДВ| = √(9 + 16)
|ДВ| = √25
|ДВ| = 5

Следовательно, длина вектора ДВ равна 5.

Координаты точки А - (1, 4)
Координаты точки С - (6, 2)

|АС| = √((6 - 1)² + (2 - 4)²)
|АС| = √(5² + (-2)²)
|АС| = √(25 + 4)
|АС| = √29

Следовательно, длина вектора АС равна √29.

Итак, мы доказали, что четырёхугольник АВСД является параллелограммом, так как противоположные стороны АВ и СД параллельны. Длина вектора ДВ равна 5, а длина вектора АС равна √29.