Даны координаты вершин тетраэдра ABCD : A(0,−1,−2), B(2,0,0), C(2,0,−1), D(5,0,1). Вычислить объем тетраэдра, площадь его основания ABC и высоту, опущенную из вершины D.

Хорошо, давайте решим эту задачу!

1. Вычисление объема тетраэдра:
Для вычисления объема тетраэдра, нам понадобятся его высота и площадь основания.

2. Площадь основания ABC:
Для вычисления площади основания ABC, мы можем воспользоваться формулой площади треугольника.
Сначала найдем длины сторон треугольника ABC:

- Сторона AB:
AB = √ ( (x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2 )
AB = √ ( (2 - 0)^2 + (0 + 1)^2 + (0 + 2)^2 )
AB = √ ( 4 + 1 + 4 )
AB = √ 9
AB = 3

- Сторона BC:
BC = √ ( (x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2 )
BC = √ ( (2 - 2)^2 + (0 - 0)^2 + (-1 - 0)^2 )
BC = √ ( 0 + 0 + 1 )
BC = √ 1
BC = 1

- Сторона CA:
CA = √ ( (x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2 )
CA = √ ( (2 - 0)^2 + (0 + 1)^2 + (-1 + 2)^2 )
CA = √ ( 4 + 1 + 1 )
CA = √ 6

Теперь, используем формулу Герона для вычисления площади треугольника ABC:
S = √( p * (p - AB) * (p - BC) * (p - CA) )
где p - полупериметр треугольника, который равен сумме длин сторон, поделенной на 2:
p = (AB + BC + CA) / 2
p = (3 + 1 + √6) / 2
p ≈ (3 + 1 + 2.45) / 2
p ≈ 6.45 / 2
p ≈ 3.225

Теперь вычислим площадь основания, подставив найденные значения:
S = √( 3.225 * (3.225 - 3) * (3.225 - 1) * (3.225 - √6) )
S ≈ √( 3.225 * 0.225 * 2.225 * 0.225 )
S ≈ √( 0.35583815625 )
S ≈ 0.59624

Получили, что площадь основания ABC равна около 0.59624.

3. Высота, опущенная из вершины D:
Чтобы найти высоту, опущенную из вершины D, мы можем использовать формулу для высоты треугольника.
Выберем сторону основания ABC (например, сторону AB) и найдем ее длину:

- Сторона AB: (уже вычислена ранее)
AB = 3

Теперь, воспользуемся формулой для высоты:
h = (2 * S) / AB
h = (2 * 0.59624) / 3
h ≈ 0.3975

Получили, что высота, опущенная из вершины D, равна около 0.3975.

4. Вычисление объема тетраэдра:
Теперь, когда у нас есть площадь основания и высота, мы можем вычислить объем тетраэдра.
Он вычисляется по формуле:
V = (1/3) * S * h

Подставим значения:
V = (1/3) * 0.59624 * 0.3975
V ≈ 0.0794

Получили, что объем тетраэдра равен около 0.0794.

Таким образом, получили ответы:
- Площадь основания ABC ≈ 0.59624
- Высота, опущенная из вершины D ≈ 0.3975
- Объем тетраэдра ≈ 0.0794