Даны координаты вершин пирамиды ABCD. Найти: 1) |AB|; 2) (AB;AC); 3) пр AB; AC;
4) площадь грани ABC; 5) уравнение грани ABC
6) уравнение ребра AD; 7) угол между ребром AD и
гранью ABC; 8) смешанное произведение (AB, AC, AD) и V - объём пирамиды ABCD; 9) уравнение высоты,опущенной из вершины D на грань ABC и
ее длину; 10) уравнение плоскости, проходящей через точку D
параллельно грани ABC.
A(4;8;0); B(2;7;6); C(0;1;4); D(8;3;6)
Задача 2
На координатной плоскости задан треугольник ABC
координатами своих вершин. Требуется найти :
1) уравнение стороны AB, 2) уравнение высоты CD
и вычислить ее длину, 3) уравнение медианы BM,
угол q между высотой CD и медианой BM
A(6;5); B(0;2); C(7;6)

Здравствуйте! Давайте разберемся с задачей.

Задача 1.

1) Чтобы найти длину отрезка AB, нужно использовать формулу расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве. Формула записывается следующим образом:
|AB| = √((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)² + (z₂-z₁)²), где (x₁, y₁, z₁) и (x₂, y₂, z₂) - координаты точек A и B соответственно.
Подставляем координаты точек A(4;8;0) и B(2;7;6) в формулу:
|AB| = √((2-4)² + (7-8)² + (6-0)²) = √((-2)² + (-1)² + 6²) = √(4 + 1 + 36) = √41.

2) Чтобы найти скалярное произведение векторов AB и AC, нужно умножить соответствующие координаты векторов и сложить произведения:
(AB;AC) = (x₁*x₂ + y₁*y₂ + z₁*z₂), где (x₁, y₁, z₁) и (x₂, y₂, z₂) - координаты векторов AB и AC соответственно.
Подставляем координаты векторов AB и AC:
(AB;AC) = (4*2 + 8*1 + 0*6) = 8 + 8 + 0 = 16.

3) Чтобы найти прямую, проходящую через точки AB и AC, нужно найти направляющий вектор этой прямой. Для этого вычитаем соответствующие координаты точек:
AB = B - A = (x₂-x₁, y₂-y₁, z₂-z₁) = (2-4, 7-8, 6-0) = (-2, -1, 6).
Таким образом, уравнение прямой AB имеет вид:
x = 4 - 2t,
y = 8 - t,
z = 0 + 6t.

4) Чтобы найти площадь грани ABC, необходимо использовать формулу площади треугольника, учитывая, что ABC - правильный треугольник.
Площадь грани ABC равна половине произведения длины стороны на высоту, опущенную на эту сторону.
Находим длины сторон:
|AB| = √41 (по ответу в пункте 1).
Поскольку ABC - правильный треугольник, длина стороны BC равна |AB|.
Используем формулу площади треугольника:
S = (1/2) * |AB| * h, где h - высота, опущенная из вершины A на сторону BC.
Поскольку ABC - правильный треугольник, высота h будет равна (√3/2) * |AB|.
Подставляем значения:
S = (1/2) * √41 * (√3/2) * √41 = (1/2) * 41 * (√3/2) = 41/4 * (√3) ≈ 35.767.

5) Чтобы найти уравнение грани ABC, нужно найти векторное произведение векторов AB и AC. Формула векторного произведения:
[AB, AC] = ((y₁*z₂ - y₂*z₁), -(x₁*z₂ - x₂*z₁), (x₁*y₂ - x₂*y₁)), где (x₁, y₁, z₁) и (x₂, y₂, z₂) - координаты векторов AB и AC соответственно.
Подставляем координаты векторов AB и AC:
[AB, AC] = ((8*4 - 7*0), -(4*4 - 2*0), (4*7 - 2*8)) = (32, -16, 12).
Таким образом, уравнение грани ABC имеет вид:
32x - 16y + 12z = 0.

6) Чтобы найти уравнение ребра AD, нужно найти направляющий вектор этого ребра. Для этого вычитаем соответствующие координаты точек:
AD = D - A = (x₂-x₁, y₂-y₁, z₂-z₁) = (8-4, 3-8, 6-0) = (4, -5, 6).
Таким образом, уравнение ребра AD имеет вид:
x = 4 + 4t,
y = 8 - 5t,
z = 0 + 6t.

7) Чтобы найти угол между ребром AD и гранью ABC, можно воспользоваться формулой для нахождения косинуса угла между векторами:
cos(q) = (AD * [AB, AC]) / (|AD| * |[AB, AC]|), где AD - вектор ребра AD, [AB, AC] - векторное произведение векторов AB и AC, |AD| и |[AB, AC]| - их длины.
Вначале найдем значения:
AD = (4, -5, 6),
[AB, AC] = (32, -16, 12).

Найдем длины векторов:
|AD| = √(4² + (-5)² + 6²) = √(16 + 25 + 36) = √77,
|[AB, AC]| = √(32² + (-16)² + 12²) = √(1024 + 256 + 144) = √1424 ≈ 37.745.

Подставляем значения в формулу для нахождения косинуса угла:
cos(q) = ((4*32 + (-5)*(-16) + 6*12) / (√77 * √1424) ≈ 0.702.
Найдем угол q, обратившись к таблице значений тригонометрических функций или калькулятору, где cos(q) ≈ 0.702:
q ≈ 45.57 градусов.

8) Чтобы найти смешанное произведение (AB, AC, AD) и объем пирамиды ABCD, нужно умножить векторное произведение векторов AB и AC на вектор AD:
(AB, AC, AD) = [AB, AC] * AD = (x₁, y₁, z₁) * (x₂, y₂, z₂) = (32, -16, 12) * (4, -5, 6) = 32*4 + (-16)*(-5) + 12*6 = 128 + 80 + 72 = 280.
Объем пирамиды ABCD можно найти по формуле:
V = (1/6) * |(AB, AC, AD)|, где |(AB, AC, AD)| - смешанное произведение.
Подставляем значение смешанного произведения:
V = (1/6) * 280 = 46.67.

9) Чтобы найти уравнение высоты, опущенной из вершины D на грань ABC и ее длину, нужно найти уравнение плоскости грани ABC и использовать его для нахождения расстояния от точки D до этой плоскости.
Уравнение плоскости грани ABC мы уже нашли в пункте 5:
32x - 16y + 12z = 0.

Для нахождения расстояния от точки D до плоскости, используем формулу:
d = |Ax + By + Cz + D| / √(A² + B² + C²), где A, B, C и D - коэффициенты уравнения плоскости ABC, x, y, z - координаты точки D.
Подставляем значения:
d = |32*8 - 16*3 + 12*6 + 0| / √(32² + (-16)² + 12²) = |256 - 48 + 72| / √(1024 + 256 + 144) ≈ 280 / 37.745 ≈ 7.421.

Таким образом, уравнение высоты, опущенной из вершины D на грань ABC, имеет вид:
32x - 16y + 12z - 52 = 0,
а ее длина равна примерно 7.421.

10) Чтобы найти уравнение плоскости, проходящей через точку D и параллельной грани ABC, мы можем использовать координаты нормального вектора грани ABC, который мы нашли в пункте 5.
Уравнение плоскости имеет вид:
Ax + By + Cz + D = 0, где A, B, C - координаты нормального вектора, D - определяется из координат точки D и нормального вектора.
Подставляем значения:
32x - 16y + 12z + D = 0.

Задача 2.

1) Уравнение стороны AB треугольника можно найти также, как в предыдущей задаче:
AB = B - A = (x₂-x₁, y₂-y₁) = (0-6, 2-5) = (-6, -3).
Таким образом, уравнение стороны AB имеет вид:
x = 6 - 6t,
y = 5 - 3t.

2) Уравнение высоты CD можно найти также, как в предыдущей задаче:
CD = D - C = (x₂-x₁, y₂-y₁) = (7-0, 6-2) = (7, 4).
Таким образом, уравнение высоты CD имеет вид:
x = 0 + 7t,
y = 2 + 4t.

Для нахождения длины высоты CD можно использовать формулу расстояния между двумя точками на плоскости:
d = √((x₂-x₁)² + (y₂-y₁)²), где (x₁, y₁) и (x₂, y₂) - координаты точек C и D соответственно.
Подставляем координаты точек C(7, 6) и D(0, 2) в формулу:
d = √((0-7)² + (2-6)²) = √((-7)² + (-4)²) = √(49 + 16) = √65 ≈ 8.062.

3) Уравнение медианы BM можно найти, найдя середину стороны AC треугольника ABC, и используя эту середину как точку на медиане. Формула середины отрезка:
Mx = (x₁ + x₂) / 2,
My = (y₁ + y₂) / 2, где (x₁, y₁) и (x₂, y₂) - координаты концов отрезка AC.
Подставляем координаты точек A(6, 5) и C(7, 6) в формулу:
Mx = (6 + 7) / 2 = 13/2 = 6.5,
My = (5 + 6) / 2 = 11/2 = 5.5.
Таким образом, координаты точки M на медиане BM равны (6.5, 5.5).
Уравнение медианы BM можно записать в виде:
(x-6.5) / (6.5-0) = (y-5.5) / (5.5-2),
(x-6.5) / 6.5 = (y-5.5) / 3.5.

Для нахождения угла q между медианой BM и высотой CD можно снова воспользоваться формулой для нахождения косинуса угла между векторами:
cos(q) = (BM * CD) / (|BM| * |CD|), где BM и CD - векторы, найденные в пункте 3 и 2 соответственно, |BM| и |CD| - их длины.
Вначале найдем значения:
BM = (x₂-x₁, y₂-y₁) = (6.5-0, 5.5-2) = (6.5, 3.5),
CD = (x₂-x₁, y₂-y₁) = (0-7, 2-6) = (-7, -4).

Найдем длины векторов:
|BM| = √(6.5² + 3.5²) = √(42.25 + 12.25) = √54.5 ≈ 7.382,
|CD| = √((-7)² + (-4)²) = √(49 + 16) = √65 ≈ 8.062.

Подставляем значения в формулу для нахождения косинуса угла:
cos(q) = ((6.5*(-7) + 3.5*(-4)) / (7.382 * 8.062) ≈ -48.75 / 59.46 ≈ -0.819.
Найдем угол q, обратившись к таблице значений тригонометрических функций или калькулятору, где cos(q) ≈ -0.819:
q ≈