Даны координаты вершин пирамиды A1 (0, –1, 1), A2 (1, –6, 3), A3 (1, –5, 0), A4 (–2, 0, –2).

Найти:
а) угол между рѐбрами A1A2 и A1A3;
б) площадь грани A1 A2 A3;
в) уравнение плоскости A1A2A3;
г) уравнение высоты, проходящей через A4;
д) объѐм пирамиды.

Даны координаты вершин пирамиды A1А2А3А4:

A1 (0, –1, 1), A2 (1, –6, 3), A3 (1, –5, 0), A4 (–2, 0, –2).

Найти: а) угол между ребрами A1А2 и A1А3;

                                                                      x    y     z       СумКвад.   Длина ребра  

Вектор А1А2={xА2-xA1, yА2-yA1, zА2-zA1}  1    -5    2            =  √30     =   5,47723

Вектор А1А3={xА3-xA1, yА3-yA1, zА3-zA1} 1     -4       -1        =  √18 =    4,24264.

cos A = (1*1 + (-5)*(-4) + 2*(-1)) / (6*√5) = 19/(√30*√18) = 19/√540 = 19/(6√15).

Угол А равен arc cos(19/(6√15) = 0,6135 радиан или 35,1518 градуса.

б) площадь грани A1 А2 А3;

Площадь грани A1 А2 А3 равна половине модуля векторного произведения:  

S = (1/2)|A1А2*A1А3|.Координаты векторов найдены выше:  

A1 A2: (1; -5; 2),   A1 A3: (1; -4; -1).                  

i        j      k|       i        j

1     -5      2|      1       -5

1     -4     -1|     1      -4   =   5i + 2j - 4k + 1j + 8i + 5k =

                                       =   13i + 3j + 1k.

Модуль равен √(13² + 3² +1²) = √179 ≈ 13,3791.

Площадь S = (1/2)* √179  ≈ 6,6895.

в) уравнение плоскости A1A2A3

Для составления уравнения плоскости используем формулу:

x – xA1         y – yA1     z – zA1

xА2 – xA1    yА2 – yA1      zА2 – zA1

xА3 – xA1     yА3 – yA1      zА3 – zA1   = 0

Подставим данные: A1 (0, –1, 1), A2 (1, –6, 3), A3 (1, –5, 0) и упростим выражение:

x - 0         y - (-1)        z - 1

1 - 0       -6 - (-1)        3 - 1

1 - 0       -5 - (-1)        0 – 1  = 0

x         y + 1         z - 1

1          -5              2

1         -4              -1   = 0

x * ((-5)·(-1)-2·(-4))  -  (y + 1) * (1·(-1)-2·1)  +  (z - 1) * (1·(-4)-(-5)·1  = 0

13 x + 3 y + 3 + 1z - 1  = 0

13x + 3y + 1z + 2 = 0.

г) уравнение высоты, проходящей через A4;

Нормальный вектор плоскости А1А2А3 является направляющим вектором высоты из вершины А4 на грань A1А2А3.

Точка А4 (–2, 0, –2), вектор (13; 3; 1).

Уравнение высоты: (x + 2)/13 = y /3 = (z + 2)/1.

д) объём пирамиды.

Объём пирамиды V = (1/6)*|(A1А2xA1А3)*A1А4|.

A1А2xA1А3    =    13      3       1

     А1А4    =     -2         1          -3

A4 (–2, 0, –2) - A1 (0, –1, 1) = (-2; 1; -3).

(1/6)*|(A1А2xA1А3)*A1А4| = (1/6)*|(-26 + 3 - 3)| = 26/6 = 13/3 куб.ед.