Даны координаты точек А, В, и С в системе хОу. Найти: а) координаты векторов АВ, АС, их разложение по ортам i, j и их модули;

б) угол между векторами АВ и ВС;

в) направляющие косинусы векторов АВ и АС

А(-6;-2),В(6,7),С(4,-7)

Для решения данной задачи, нам необходимо выполнять следующие шаги:

а) Найдем координаты вектора AB:
Для этого нужно вычислить разность координат: x2 - x1 и y2 - y1, где (x1, y1) - координаты точки A, (x2, y2) - координаты точки B.
AB = (6 - (-6), 7 - (-2))
= (12, 9)

Найдем координаты вектора AC:
AC = (4 - (-6), -7 - (-2))
= (10, -5)

Разложение вектора AB по ортам i и j:
Вектор AB = ABx * i + ABy * j
где ABx - проекция вектора AB на ось x, ABy - проекция вектора AB на ось y.

ABx = 12, ABy = 9
Вектор AB = 12 * i + 9 * j

Разложение вектора AC по ортам i и j:
Вектор AC = ACx * i + ACy * j
где ACx - проекция вектора AC на ось x, ACy - проекция вектора AC на ось y.

ACx = 10, ACy = -5
Вектор AC = 10 * i + (-5) * j

Вычислим модули векторов:
Модуль вектора AB: |AB| = √(ABx^2 + ABy^2)
|AB| = √(12^2 + 9^2)
= √(144 + 81)
= √(225)
= 15

Модуль вектора AC: |AC| = √(ACx^2 + ACy^2)
|AC| = √(10^2 + (-5)^2)
= √(100 + 25)
= √(125)
= 5√5

б) Угол между векторами AB и AC:
Используем формулу для вычисления угла между двумя векторами:
cosθ = (AB * AC) / (|AB| * |AC|)
где θ - угол между векторами, AB * AC - скалярное произведение векторов AB и AC.

AB * AC = ABx * ACx + ABy * ACy
= 12 * 10 + 9 * (-5)
= 120 - 45
= 75

cosθ = (75) / (15 * 5√5)
= (75) / (75√5)
= 1 / √5

Таким образом, угол между векторами AB и AC равен arccos(1 / √5).

в) Направляющие косинусы векторов AB и AC:
Направляющий косинус вектора AB по оси x: cosαx = ABx / |AB|
cosαx = 12 / 15
= 4 / 5

Направляющий косинус вектора AB по оси y: cosαy = ABy / |AB|
cosαy = 9 / 15
= 3 / 5

Направляющий косинус вектора AC по оси x: cosβx = ACx / |AC|
cosβx = 10 / (5√5)
= 2 / √5

Направляющий косинус вектора AC по оси y: cosβy = ACy / |AC|
cosβy = (-5) / (5√5)
= -1 / √5

Итак, направляющие косинусы векторов AB и AC:
cosαx = 4/5, cosαy = 3/5
cosβx = 2/√5, cosβy = -1/√5