Даны четыре точки A ,A ,A ,A 1234 . Составить уравнения:
а) Плоскости 123 (A A A ); б) Прямой A A1 2 ;
в) Прямой A M4 , перпендикулярной к плоскости 123 (A A A );
г) Прямой A N3 , параллельной прямой A A1 2 ;
Вычислить:
д) Объем пирамиды 1234 ;
е) Высоту, опущенную из вершины A4 на грань 123 (A A A ).
1. A1(1, 3, 6), A2(2, 2, 1), A3(-1, 0, 1), A4(-4, 6, -3);

Даны четыре точки: A1(1; 3; 6), A2(2; 2; 1), A3(-1; 0; 1), A4(-4; 6; -3).

Составить  уравнения:

а) Плоскости (A1 A2 A3 );

Находим векторы: А1А2 и А1А3.

А1А2 = (2-1; 2-3; 1-6) = (1; -1; -5).

А1А3 = (-1-1; 0-3; 1-6) = (-2; -3; -5).

Находим векторное произведение:

(x - 1)    (y - 3)    (z - 6)|      (x - 1)     (y - 3)

  1           -1             -5|          1             -1

-2          -3             -5|         -2            -3 = 5(x - 1) + 10(y - 3) - 3(z - 6) +

  + 5((y - 3) - 15(x - 1) - 2(z - 6) =

= 5x - 5 + 10y - 30 - 3z + 18 + 5y - 15 - 15x + 15 - 2z + 12 =

= -10x + 15y - 5z  - 5 = 0 или, сократив на (-5): 2x - 3y +z + 1 = 0.        

б) Прямой A1 A2. Вектор А1А2 =  (1; -1; -5) (см, п. а). Точка A1(1; 3; 6).

Уравнение А1А2: (x - 1)/1 = (y - 3)/(-1) = (z - 6)/(-5).

в) Прямой A1 M4 , перпендикулярной к плоскости (A1 A2 A 3).

Нормальный вектор n плоскости А1А2А3 2x - 3y +z + 1 = 0 - это направляющий вектор перпендикуляра к этой плоскости.

n = (2; -3; 1), точка A1(1; 3; 6).

Уравнение А1М4: (x - 1)/2 = ( y - 3)/(-3) = (z - 6)/1.

г) Прямой A N3 , параллельной прямой A1 A2.

Неизвестны координаты точки А, решение невозможно.

Вычислить:

д) Объем пирамиды A1A2A3А4.

V = (1/6)*|(A1A2xA1A3)*(A1A4)|.

Векторное произведение А1А2хА1А3 =  (-10; 15; -5) (см.п.а)

Находим вектор А1А4 = (-4-1; 6-3; -3-6) = (-5; 3; -9).

V = (1/6)*|(-10*(-5)+15*3+(-5)*(-9))| = 140/6 = (70/3) куб.ед.

е) Высоту, опущенную из вершины A4 на грань (A1 A2 A3 ).

H = 3V/S(A1A2A3).

Площадь грани А1A2A3 равна половине модуля векторного произведения А1А2 и А1А3

S(A1A2A3) = (1/2)√((-10)² + 15² + (-5)²) = (1/2)√(100+225+25) =

                 = (1/2)√350 = (5/2)√14 ≈ 9,354143.

Тогда H = 3*(70/3)/((5/2)√14) = 2√14 ≈ 7,483315.