1. Математика
  2. Дано дифференциальное уравнение

Дано дифференциальное уравнение 1-го порядка и точка М. Определить тип дифференциального уравнения. Найти общее решение
дифференциального уравнения, уравнение интегральной кривой, проходящей
через точку М и уравнения еще 4-х интегральных кривых. Построить все эти
кривые в системе координат.
Пытаюсь решить это уже 4 дня. Внятного объяснения не могу найти. Получил 5 разных ответов
1 - корень из 2
2 - минус корень из 2
3- e в степени корень из 2
4 - 1/(e в степени корень из 2)
5 - модуль( корень из 2)

BonesPPP BonesPPP    2   27.12.2021 01:07    0

Ответы
расим28 расим28  27.12.2021 01:10

\displaystyle \sf y'xy=\sqrt{y^2+1}

Это уравнение с разделяющимися переменными.

\displaystyle \sf \frac{dy}{dx}xy=\sqrt{y^2+1} \\ \frac{y}{\sqrt{y^2+1}}dy=\frac{1}{x}dx

Интегрируем уравнение. Для обеих частей уравнения считаем интегралы:

\displaystyle \sf \int\limits {\frac{y}{\sqrt{y^2+1}}} \, dy= \frac{1}{2}\int\limits {\frac{2y}{\sqrt{y^2+1}}} \, dy=\frac{1}{2}\int\limits {\frac{1}{\sqrt{y^2+1}}} \, d(y^2)=\frac{1}{2}\cdot2\sqrt{y^2+1}+C=\\=\sqrt{y^2+1}+C \\ \\ \int\limits {\frac{1}{x}} \, dx =ln|x|+C

Получим общее решение:

\displaystyle \sf \sqrt{y^2+1}=ln|x|+C_1

y(x) можно выразить явно:

\sf \displaystyle y=\pm\sqrt{ln^2|x|+2C_1ln|x|+C_1^2-1}

Теперь найдем интегральную кривую, проходящую через точку M(1,1):

\displaystyle \sf \sqrt{1^2+1}=ln|1|+C_1 \\ C_1=\sqrt{2}

тогда

\sf \displaystyle \sqrt{y^2+1}=ln|x|+\sqrt{2}

- искомая интегральная кривая.

Другие интегральные кривые можно получать путем подстановки фиксированных значений вместо C₁. Примеры и их графики смотреть на картинке.


Дано дифференциальное уравнение 1-го порядка и точка М. Определить тип дифференциального уравнения.
ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Математика
LanaStreet LanaStreet  03.12.2021 09:50
Мотоциклист догоняет велосипедиста. Сейчас между ними 23,4 км. скорость велосипедиста 13,5 км/ч. найдите скорость мотоциклиста если известно что мотоциклист догонит...
louderit louderit  03.12.2021 09:50
6 класс 2 четверть 1 сор HelpSOS...
Тима77711 Тима77711  03.12.2021 09:49
Канат любит складывать все цифры на электронных часах. Например если часы показывают время 15:44 он получает 14. Какую наибольшую сумму Канат может получить?...
Evelynimmortal Evelynimmortal  03.12.2021 09:46
Определи значение переменной: 54 = 45m...
haha1 haha1  03.12.2021 09:46
Найдите производную функции и вычислите её значение в точке x=1...
Zahardenicuk Zahardenicuk  03.12.2021 09:46
5 За першу годину заповнили водою резервуару, а за другу — решту. 13 Скільки літрів води вміщає резервуар, якщо за другу годину влили на 120 л більше, ніж за першу...
umka2345 umka2345  03.12.2021 09:44
Реши уравнения и выполни соответствие....
lewaq lewaq  03.12.2021 09:41
Сколько будет 2 + 2 то есть 2 х я я учусь в первом классе...
lana231075 lana231075  03.12.2021 09:41
Дан квадрат со стороной 5, который поделен на 25 квадратиков со стороной 1. Надйите количество квадратиков, у которых периметр равен 12....
nbis2000 nbis2000  01.11.2020 14:59
400. Запишите дроби. 1) При каких натуральных значениях х дробь:а)правильная?5х; б)32) При каких натуральных значениях у дробь:45а) ; б)уунеправильная?Можно ответ...

Популярные вопросы