Дано : А1 ( 0,5,0 ) , А2 ( 2,3,-4 ) , А3 ( 0,0,-6), А4 ( -3,1,-1 ) , a1 і a2 . 1. Скласти рівняння площини, яка проходить через точку А1 перпендикулярно вектору А1А2 .

2. Скласти рівняння площини, яка проходить через точки А1 і А2 паралельно вектору a1 .

3. Скласти рівняння площини, яка проходить через точку А2 паралельно векторам a1 і a2 .

4. Скласти рівняння площини, яка проходить через три точки А1 , А2 , А3 .

5. Обчислити відстань d від точки А4 до площини ( А1 А2 А3 ).

6. Скласти рівняння площини, яка проходить через точку А4 паралельно до площини ( А1 А2 А3 ) .

7. Обчислити кут між площинами x - 2y + 3z + 5 - 0 і ( А1 А2 А3 ) .

Дано : А1(0;5;0), А2(2;3;-4), А3(0;0;-6), А4(-3;1;-1), a1 {1; -3; 12 } і a2 {12; 2; 0}.

1. Скласти рівняння площини, яка проходить через точку А1 перпендикулярно вектору А1А2 .

Находим вектор А1А2.

А1А2 = (2-0; 3-5; -4-0) = (2; -2; -4).

Вектор А1А2, перпендикулярный к искомой плоскости, является её нормальным вектором.

По этому вектору (2; -2; -4) и точке А1(0; 5; 0) составляем у равнение плоскости по формуле A·(x–xo)+B·(y–yo)+C·(z–zo)=0.

2*x + (-2)*(y – 5) + (-4)*z = 0.

2x – 2y – 4z + 10 = 0 или, сократив на 2:

x – y – 2z + 5 = 0.

2. Скласти рівняння площини, яка проходить через точки А1 і А2 паралельно вектору a1.

Пусть точка М(x; y;  z) расположена в искомой плоскости β . Тогда в плоскости β расположены векторы А1M(x; y - 5; z) ;  А1А2(2; -2; -4) и вектор a1(1;- 3; 12).

По условию компланарности смешанное произведение этих трёх векторов должно равняться 0.

Находим смешанное произведение:

  |  x    y - 5       z   |

  |  2      -2        -4   |  = 0 .      Решаем эту матрицу по  

  |  1      -3        12  |               схеме Саррюса.

|  x     y - 5        z   |          x        y - 5    

|  2       -2         -4   |         2         -2        

|  1       -3        12   |         1         -3  =

=x*(-24) + (y – 5)*(-4) + z*(-6) – (y – 5)*24 – x*12 – z*(-2) =

= -24x  – 4y + 20 - 6z – 24y + 120 - 12x  + 2z =

= -36x – 28y - 4z + 140 = 0, после сокращения на -4 получаем:

9x + 7y + z – 35 = 0. Это искомое уравнение плоскости.

3. Скласти рівняння площини, яка проходить через точку А2 паралельно векторам a1(1; -3; 12) і a2(12; 2; 0).

Векторы а1 и а2 можно разместить в искомой плоскости. Тогда они будут направляющими векторами этой плоскости (при условии их неколлинеарности).

Тогда нормаль к искомой плоскости получим как векторное произведение её направляющих векторов.

I        j       k|        I       j

1     -3     12|       1     -3

12     2      0|      12     2 = 0i + 144j + 2k – 0j – 24i + 36k = -24i + 144j + 38k.

Получили нормальный вектор плоскости (-24; 144; 38).

Примем коллинеарный ему вектор с к = -2: (12; -72; -19)

Уравнение плоскости, проходящей через точку Mo(xo;yo;zo) с нормальным вектором n=(A;B;C) имеет вид A·(x–xo)+B·(y–yo)+C·(z–zo)=0.  

Подставим данные: А2(2; 3; -4), n = (12; -72; -19).

12·(x – 2) + (-72)· (y – 3) + (-19)·(z + 4) = 0.

12x - 24 - 72y + 216 - 19z – 76 = 0.

12х - 72y - 19z + 116=0.

О т в е т. 12х - 72y - 19z + 116 = 0.

4. Скласти рівняння площини, яка проходить через три точки А1, А2, А3.

Для составления уравнения плоскости по трём точкам используем формулу:

x - xA             y - yA             z - zA

xB - xA         yB - yA            zB - zA

xC - xA         yC - yA            zC - zA = 0

Подставим данные и упростим выражение: А1(0;5;0), А2(2;3;-4), А3(0;0;-6).

  x - 0             y – 5                z - 0

 2 - 0              3 – 5             (-4) - 0

 0 - 0              0 – 5               -6 - 0 = 0

  x - 0             y – 5                z - 0

    2                   -2                    -4

    0                   -5                    -6 = 0

(x – 0)(-2·(-6)-(-4)·(-5)) – (y – 5)(2·(-6)-(-4)·0) + (z – 0)(2·(-5)-(-2)·0) = 0

(-8)(x – 0) + 12(y – 5) + (-10)(z – 0) = 0

- 8x + 12y - 10z - 60 = 0

4x - 6y + 5z + 30 = 0

ответ: уравнение плоскости 4x - 6y + 5z + 30 = 0.

5. Обчислити відстань d від точки А4 до площини (А1А2А3).

Для вычисления расстояния от точки M(Mx; My; Mz) до плоскости Ax + By + Cz + D = 0 используем формулу:

d = |A·Mx + B·My + C·Mz + D|/√A2 + B2 + C2

Подставим в формулу данные:

А4(-3;,1;-1), нормальный вектор плоскости А1А2А3 равен (4; -6; 5) по п.4) .

d = |4·(-3) + (-6)·1 + 5·(-1) + 30|/√42 + (-6)2 + 52 =  

  = |-12 - 6 - 5 + 30|/√16 + 36 + 25 =

 = 7/√77 = √77/11 ≈ 0,07977.

6. Скласти рівняння площини, яка проходить через точку А4 паралельно до площини ( А1А2А3 ) .

Используем формулу A·(x–xo)+B·(y–yo)+C·(z–zo)=0.

Так как искомая плоскость параллельна плоскости А1А2А3,то её нормальный вектор совпадает с нормальным вектором плоскости А1А2А3, координаты которого определены в пункте 4) и равны (4; -6; 5), точка А4(-3;1;-1).

Получаем 4(x + 3) – 6(y – 1) + 5(z + 1) = 0.

4x + 12 – 6y + 6 + 5z + 5 = 0.

4x – 6y + 5z + 23 = 0.

7. Обчислити кут між площинами x - 2y + 3z + 5 = 0 і А1А2А3.

Уравнение плоскости А1А2А3по пункту 4 равно 4x - 6y + 5z + 30 = 0.

Угол между плоскостями x - 2y + 3z + 5 = 0 и 4x - 6y + 5z + 30 = 0

определяем по формуле:

cos α = |A1·A2 + B1·B2 + C1·C2|/(√(A12 + B12 + C12) *√(A22 + B22 + C22)).

Подставляем координаты векторов:

cos α = |1·4 + (-2)·(-6) + 3·5|/(√(12 + (-2)2 + 32) *√(42 + (-6)2 + 52))=

= |4 + 12 + 15|/(√(1 + 4 + 9) *√(16 + 36 + 25)) =

= 31/(√14* √77) = 31/√1078 = 31√22154 ≈ 0,94417.

α = 19,2351°