Дана система m линейных уравнений с n неизвестным.
Пусть ранг матрицы этой системы равен k , а ранг расширенной мат-
рицы системы равен p. Правильными утверждениями являются:
a) если n>m, то система имеет хотя бы одно решение;
б) если m>n, то система не имеет решений;
в) если система имеет хотя бы одно решение, то p=k;
г) если p=k и n>k, то система имеет бесконечное множество решений.

Добрый день!

Давайте рассмотрим каждое утверждение по отдельности:

а) Если n > m (количество неизвестных больше, чем количество уравнений), то система имеет хотя бы одно решение.

Пояснение:
Пусть дана система m линейных уравнений с n неизвестными. Это означает, что у нас есть m уравнений и n неизвестных. Если количество неизвестных больше, чем количество уравнений (n > m), то у нас будет нехватка уравнений для определения значений всех неизвестных. В таком случае система будет иметь бесконечное количество решений. Например, если у нас есть 2 уравнения и 3 неизвестных, то у нас есть лишний неизвестный, и мы можем выбирать произвольное значение для этого неизвестного, а остальные неизвестные будут определяться значениями из этих двух уравнений.

Таким образом, правильное утверждение будет звучать так: если n > m, то система имеет бесконечное количество решений.

б) Если m > n (количество уравнений больше, чем количество неизвестных), то система не имеет решений.

Пояснение:
Если количество уравнений больше, чем количество неизвестных (m > n), то у нас будет переопределение системы. Это означает, что у нас будет больше уравнений, чем неизвестных, и система не сможет определить значения для всех неизвестных. Например, если у нас есть 3 уравнения и 2 неизвестных, то у нас будет одно или несколько уравнений, которые будут получаться из других уравнений, что приведет к противоречиям, так как мы пытаемся определить значения неизвестных с помощью противоречивых уравнений.

Таким образом, правильное утверждение будет звучать так: если m > n, то система не имеет решений.

в) Если система имеет хотя бы одно решение, то ранг расширенной матрицы системы равен рангу матрицы системы (p = k).

Пояснение:
Рассмотрим систему m линейных уравнений с n неизвестными. Ранг матрицы этой системы равен k, что означает, что существует k линейно независимых уравнений. Расширенная матрица системы включает в себя матрицу коэффициентов системы и столбец свободных членов. Если система имеет хотя бы одно решение, то это означает, что все уравнения системы между собой согласованы и удовлетворяют требованиям системы.

Ранг расширенной матрицы системы показывает количество линейно независимых строк в расширенной матрице. Если система имеет хотя бы одно решение, то все уравнения системы линейно зависимы друг от друга, и они ограничивают все неизвестные. Это означает, что ранг расширенной матрицы p будет равен рангу матрицы системы k.

Таким образом, правильное утверждение будет звучать так: если система имеет хотя бы одно решение, то p = k.

г) Если p = k и n > k, то система имеет бесконечное количество решений.

Пояснение:
Если ранг расширенной матрицы p равен рангу матрицы системы k и количество неизвестных n больше, чем ранг матрицы k, то у нас будет лишние неизвестные, которые можно выбирать произвольно. Это означает, что мы можем определить значения некоторых неизвестных, а остальные будут определяться значениями из уравнений системы. Например, если у нас есть 2 линейно независимых уравнения и 3 неизвестных, то мы можем выбирать произвольное значение для одного из неизвестных, а остальные будут определяться значениями из этих двух уравнений.

Таким образом, правильное утверждение будет звучать так: если p = k и n > k, то система имеет бесконечное количество решений.

Если у вас возникнут еще вопросы, не стесняйтесь задавать!