Дана система линейных уравнений, частное решение которой (1, 2, –1). Соответствующая ей однородная система имеет ФСР, состоящую из двух векторов a и b. Тогда общее решение исходной системы может быть записано в виде

Добрый день, я ваш школьный учитель, и рад помочь вам с этим вопросом о системе линейных уравнений.

Данная система линейных уравнений состоит из трех уравнений с тремя переменными x, y и z. У нас есть информация о частном решении этой системы, которое равно (1, 2, –1).

Общее решение данной системы можно записать в виде:
x = 1 + at + bs
y = 2 + at + bs
z = -1 + at + bs

Здесь t - произвольная переменная, которая может принимать любое значение, а a и b - произвольные константы.

Для того чтобы найти ФСР (фундаментальную систему решений) соответствующей однородной системы, нужно решить эту систему уравнений без учета частного решения. Заметим, что однородная система имеет ФСР, состоящую из двух векторов a и b.

Однородная система будет иметь вид:
x = at + bs
y = at + bs
z = at + bs

Мы должны найти такие значения a и b, чтобы эта система имела нетривиальные решения (не равные нулю).

Давайте найдем ФСР этой однородной системы, используя метод Гаусса или метод решения системы методом обратной матрицы.

Определитель матрицы коэффициентов однородной системы равен нулю, чтобы система имела нетривиальные решения.
| 1 0 a |
| 0 1 b |
| 0 0 0 |

Это дает нам уравнение a - 0 = 0, то есть a = 0.
Также у нас есть уравнение b - 0 = 0, то есть b = 0.

Таким образом, ФСР однородной системы будет состоять из двух векторов a и b, где a = 0 и b = 0.
То есть ФСР будет состоять из векторов (0, 0, 0).

Теперь, используя частное решение данной системы и ФСР однородной системы, мы можем записать общее решение исходной системы.

Общее решение исходной системы будет иметь вид:
x = 1 + 0t + 0s = 1
y = 2 + 0t + 0s = 2
z = -1 + 0t + 0s = -1

Итак, общее решение данной системы линейных уравнений будет:
x = 1
y = 2
z = -1

Надеюсь, это объяснение было понятным и помогло тебе понять, как найти общее решение данной системы линейных уравнений. Если у тебя возникнут еще вопросы, не стесняйся задавать их. Я всегда готов помочь!