Дана пирамида abcd найти: 1 угол abc грани авс 2 площадь грани всd 3 объем пирамиды abcd a (4; 5; 2) b (0; -2; 1) c (1; 0; -3) d (-2; 2; 0)

1. Нахождение длин ребер и координат векторов                                                       x     y  z Квадрат Длина ребра  

Вектор АВ={xB-xA, yB-yA, zB-zA}   -4 -7 -1 66 8,124038405  

Вектор BC={xC-xB, yC-yB, zC-zB}   1 2 -4 21 4,582575695  

Вектор АC={xC-xA, yC-yA, zC-zA}   -3 -5 -5 59 7,681145748  

Вектор АD={xD-xA, yD-yA, zD-zA}   -6 -3 -2 49 7  

Вектор BD={xD-xB, yD-yB, zD-zB}   -2 4 -1 21 4,582575695  

Вектор CD={xD-xC, yD-yC, zD-zC}   -3 2 3 22 4,69041576  

Косинус угла АВС равен:

cos(ABC) = (4*1+7*2+1*(-4))/(√66*√21) = 14/(3√154) ≈ 0,376051.

Этому косинусу соответствует угол 1,185266 радиан или 67,910731°.

2) Площадь грани ВСD.

Найдем площадь грани с учётом геометрического смысла векторного произведения:

Векторное произведение:

i j k

1 2 -4

-2 4 -1

=   i(2(-1)-4(-4)) - j(1(-1)-(-2)*(-4)) + k(1*4-(-2)*2) = 14i + 9j + 8k

S(BCD) = (1/2)*√(14² + 9² + 8²) = (1/2*√341 ≈ 9,2331 кв.ед.

3) Объем пирамиды ABCD.

Объем пирамиды, построенный на векторах a1(X1;Y1;Z1), a2(X2;Y2;Z2), a3(X3;Y3;Z3) равен:

X1 Y1 Z1

X2 Y2 Z2

X3 Y3 Z3

-4 -7 -1

-3 -5 -5

-6 -3 -2

 где определитель матрицы равен:

∆ = (-4)*((-5)*(-2)-(-3)*(-5))-(-3)*((-7)*(-2)-(-3)*(-1))+(-6)*((-7)*(-5)-(-5)*(-1)) = -127.

V = (1/6)*127 = 127/6 ≈ 21,1667  куб.ед.