Дан треугольник с вершинами А((-4;-3), В(-3;4), С(2;1). Составьте уравнение стороны АВ треугольника, медианы АК, высоты ВД, расстояния от вершины С до стороны АВ, вычислите угол А

Хорошо, давайте разберем каждый пункт по очереди:

1. Уравнение стороны АВ:
Для нахождения уравнения стороны АВ нам нужно использовать координаты двух точек: А и В. Мы можем использовать формулу для нахождения уравнения прямой через две точки - (y - y1) / (y2 - y1) = (x - x1) / (x2 - x1).
Используя координаты точек А((-4;-3), В(-3;4)), подставим значения в формулу:
(y - (-3)) / (4 - (-3)) = (x - (-4)) / (-3 - (-4))
(y + 3) / 7 = (x + 4) / 1
7(x + 4) = 1(y + 3)
7x + 28 = y + 3
7x - y + 25 = 0
Таким образом, уравнение стороны АВ треугольника равно: 7x - y + 25 = 0.

2. Уравнение медианы АК:
Медиана АК - это отрезок, соединяющий вершину А со серединой стороны ВС. Для нахождения координат середины стороны ВС, найдем среднее арифметическое координат точек В и С:
xк = (xв + xс) / 2 = (-3 + 2) / 2 = -1/2
yк = (yв + yс) / 2 = (4 + 1) / 2 = 5/2
То есть координаты точки К равны (-1/2; 5/2).
Теперь построим уравнение прямой АК используя координаты точек А и К:
(y - (-3)) / (5/2 - (-3)) = (x - (-4)) / (-1/2 - (-4))
(y + 3) / (5/2 + 3) = (x + 4) / (-1/2 + 4)
(y + 3) / (11/2) = (x + 4) / (7/2)
2(y + 3) = 11(x + 4) / 7
14(y + 3) = 11(x + 4)
14y + 42 = 11x + 44
14y - 11x + 2 = 0
Таким образом, уравнение медианы АК треугольника равно: 14y - 11x + 2 = 0.

3. Уравнение высоты ВД:
Высота ВД - это отрезок, проведенный из вершины В, перпендикулярно стороне АВ. Для нахождения уравнения высоты ВД нам нужно знать координаты вершины В и угловой коэффициент прямой АВ. В уравнении стороны АВ мы уже нашли уравнение прямой так, что оно выглядит следующим образом: 7x - y + 25 = 0.
Сравним это уравнение с общим уравнением прямой y = mx + b, где m - угловой коэффициент.
У нас есть уравнение 7x - y + 25 = 0. Перенесем член 25 на другую сторону:
y = 7x + 25
Таким образом, угловой коэффициент равен 7.
Теперь найдем вектор нормали к этой прямой. Коэффициенты при x и y вектора нормали будут противоположными и обратными коэффициентам при x и y исходной прямой. То есть:
nx = -1/7
ny = 1
Таким образом, получаем уравнение прямой колинеарной высоте ВД:
(y - 4) / (-1/7) = (x + 3) / 1
7(y - 4) = -1(x + 3)
7y - 28 = -x - 3
x + 7y + 25 = 0
Таким образом, уравнение высоты ВД треугольника равно: x + 7y + 25 = 0.

4. Расстояние от вершины С до стороны АВ:
Чтобы найти расстояние от точки С до прямой АВ, мы можем использовать формулу для нахождения расстояния от точки до прямой: d = |Ax + By + C| / sqrt(A^2 + B^2), где A, B и C - коэффициенты уравнения прямой.

У нас уравнение стороны АВ: 7x - y + 25 = 0, или, если переписать его в формате Ax + By + C = 0, то получим: 7x - y + 25 = 0.
Сравниваем коэффициенты при x и y с формулой:
A = 7
B = -1
C = 25

Подставляем значения в формулу и вычисляем расстояние:
d = |7(2) - (-1)(1) + 25| / sqrt(7^2 + (-1)^2)
d = |14 + 1 + 25| / sqrt(49 + 1)
d = |40| / sqrt(50)
d = 40 / sqrt(50)
d = 40 / (5 * sqrt(2))
d = (8 sqrt(2)) / 2
d = 4 sqrt(2)

Таким образом, расстояние от вершины С до стороны АВ равно 4 sqrt(2) (округлено до ближайшего целого числа).

5. Вычисление угла А:
Для нахождения угла А мы можем использовать теорему косинусов. Если стороны треугольника имеют длины a, b и c, а угол против стороны a равен A, то по теореме косинусов справедливо следующее уравнение: c^2 = a^2 + b^2 - 2ab*cos(A).
Мы уже знаем длины сторон треугольника: AB равно длине отрезка между точками А и В, КС равно длине отрезка между точками К и С, а CV равно расстоянию от точки С до прямой АВ (что мы уже рассчитали в предыдущем пункте).

AB = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)
AB = sqrt((-3 - (-4))^2 + (4 - (-3))^2)
AB = sqrt(1^2 + 7^2)
AB = sqrt(1 + 49)
AB = sqrt(50) = 5 sqrt(2)

КС = sqrt((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)
КС = sqrt((-1/2 - 2)^2 + (5/2 - 1)^2)
КС = sqrt((-5/2)^2 + (3/2)^2)
КС = sqrt(25/4 + 9/4)
КС = sqrt(34/4)
КС = sqrt(17/2) = (sqrt(17)) / sqrt(2) = sqrt(17)/2 sqrt(2) = (sqrt(17) sqrt(2)) / 2

Теперь, используем теорему косинусов:
AB^2 = КС^2 + CV^2 - 2 * КС * CV * cos(A)
(5 sqrt(2))^2 = (sqrt(17) sqrt(2) / 2)^2 + (4 sqrt(2))^2 - 2 * (sqrt(17) sqrt(2) / 2) * (4 sqrt(2)) * cos(A)
50 = (17 * 2 / 4) + 32 - 2 * sqrt(17) * 4 * cos(A)
50 = 34/2 + 32 - 8 sqrt(17) * cos(A)
50 = 17 + 32 - 8 sqrt(17) * cos(A)
50 = 49 - 8 sqrt(17) * cos(A)
1 = -8 sqrt(17) * cos(A)
cos(A) = -1 / (8 sqrt(17)) = -1 / (8 sqrt(17)) * (sqrt(17) / sqrt(17))
cos(A) = -sqrt(17) / (8 * 17) = -sqrt(17) / 136
Таким образом, угол А равен arccos(-sqrt(17) / 136).