Дан треугольник АВС координатами своих вершин.

а) записать уравнения стороны АС этого треугольника в различных формах (см методические указания), указать координаты направляющего и нормального векторов этой прямой;

б) записать уравнения медианы к стороне АВ и высоты к стороне АС;

в) записать уравнение прямой параллельной стороне АС, проходящей через вершину В треугольника.

Выполнить соответствующие построения на координатной плоскости.
ВАРИАНТ 3. А (4;2) В (0;-6) С (-4;-2)

Даны вершины треугольника А (4;2), В (0;-6), С (-4;-2).

1) Уравнение стороны АС этого треугольника в различных формах, координаты направляющего и нормального векторов этой прямой.

Направляющий вектор АС = (-4-4; -2-2) = (-8; -4).

Каноническое уравнение АС: (х - 4)/(-8) = (у - 2)/(-4).

Общее: -4х + 16 = -8у + 16,

              -4x + 8y = 0,    x - 2y = 0,

С угловым коэффициентом   у = (1/2)х.

Если прямую линию на плоскости определяет общее уравнение прямой , то коэффициенты А и B представляют собой соответствующие координаты нормального вектора этой прямой.

Для стороны АС общее уравнение   x - 2y = 0, значит, нормальный вектор к стороне АС имеет координаты (1; -2).

б) Уравнения медианы к стороне АВ и высоты к стороне АС.

Точка С2 как середина АВ имеет координаты:

С2 = (4+0)/2; (2-6)/2) = (2; -2). Вектор СС2 = (2+4; -2+2) = (6; 0).

Вектор медианы СС2 имеет координату по у, равную 0, поэтому это горизонтальная линия. Её уравнение у = -2 (у точек С и С2 у = -2).

Для высоты к стороне АС используем свойство: угловой коэффициент к = -1 / к(АС) = -1 / (1/2) = -2.

Тогда уравнение высоты к АС имеет вид у = 2х - 6 с учётом координат точки В.

в) Уравнение прямой параллельной стороне АС, проходящей через вершину В треугольника.

Эта прямая имеет угловой коэффициент такой же, как и сторона АС.

у = (1/2)х + в. Для определения параметра в подставим координаты точки В. -6 = (1/2)*0 + в. Отсюда в = -6. Получаем уравнение у = (1/2)х - 6.