Дан прямоугольный параллелепипед ABCDA1B1C1D1 со сторонами AB = 2, AD = 4, AA1 = 3. Чему равен угол между плоскостями ABC и DCB1?

а) Плоскости ABC_1 и BCC_1 перпендикулярны. Перпендикуляр из точки B_1 к плоскости ABC_1 лежит в плоскости BCC_1 и пересекает прямую BC_1 в точке E. Поэтому AE − проекция AB_1 на плоскость ABC_1.

б) По предыдущему пункту искомый угол равен углу B_1AE. В прямоугольном треугольнике B_1AE катет B_1E= дробь, числитель — корень из { 2}, знаменатель — 2 , гипотенуза AB_1= корень из { 5}. Поэтому

синус \angle B_1AE= дробь, числитель — B_1E, знаменатель — AB_1 = дробь, числитель — 1, знаменатель — { корень из { 10}}.

Тогда \angle B_1AE= \arcsin дробь, числитель — 1, знаменатель — { корень из { 10}}.

ответ: \arcsin дробь, числитель — 1, знаменатель — { корень из { 10}}.