Дан куб ABCD a1b1c1d1 докажите что диагональ куба B1D перпендикулярна к диагонали AC его основания

Вектор перпендикулярен плоскости основания и поэтому перпендикулярен любому вектору в этой плоскости, в частности AC.

Вектор BD перпендикулярен AC, поскольку в квадрате диагонали перпендикулярны. Поэтому вектор являющийся суммой векторов

и BD, также перпендикулярен AC.

Пошаговое объяснение:

Розглянемо трійку взаємно перпендикулярних  одиничних векторів

AD = p , AB = q , AA₁ = r . Розкладемо вектори АС  i  DB₁ за цим базисом :

AC = p + q ;   DB₁ = DA + AB + BB₁ = - p + q + r . Обчислимо скалярний          добуток цих векторів :

AC *  DB₁ = ( p + q ) * (  - p + q + r ) = - p² + p*q + p*r - p*q + q² + q*r =

= - 1² + 0 + 0 - 0 + 1² + 0 = 0 ( багато нулів , бо р ,q ,r перпендикулярні ) .

AC *  DB₁ = 0 , тому вектори    AC⊥ DB₁ . Отже , діагональ В₁D⊥AC .