Ctg (x+pi/6)больше или равно корень из 3

Чтобы решить это неравенство, нам нужно использовать определения и свойства тригонометрических функций, а также связь между тригонометрическими функциями и значением углов.

1. Найдите значение выражения Ctg (x + pi/6).

Ctg (x + pi/6) можно записать как 1 / Tan (x + pi/6).
Используя формулу тангенса суммы углов, можно переписать это выражение в виде:
Ctg (x + pi/6) = 1 / [(Tan x + Tan(pi/6)) / (1 - Tan x * Tan(pi/6))]
= (1 - Tan x * sqrt(3)) / (sqrt(3) + Tan x).

2. Выразите Cor (x + pi/6) в виде Sin (x + pi/6) / Cos (x + pi/6).
Используя формулу синуса и косинуса суммы углов, получаем:
Sin (x + pi/6) / Cos (x + pi/6) = [(Sin x * Cos(pi/6) + Cos x * Sin(pi/6))] / [(Cos x * Cos(pi/6)) - (Sin x * Sin(pi/6))]
= [(Sin x * sqrt(3) / 2) + (Cos x * 1 / 2)] / [(Cos x * sqrt(3) / 2) - (Sin x * 1 / 2)]
= (sqrt(3) * Sin x + 2 * Cos x) / (sqrt(3) * Cos x - 2 * Sin x).

3. Поставьте неравенство для этих выражений.
Ctg (x + pi/6) >= sqrt(3) можно записать в виде:
(1 - Tan x * sqrt(3)) / (sqrt(3) + Tan x) >= sqrt(3).

4. Умножьте обе части неравенства на (sqrt(3) + Tan x) для избавления от знаменателя.
1 - Tan x * sqrt(3) >= (sqrt(3) + Tan x) * sqrt(3).

5. Раскройте скобки в правой части неравенства.
1 - Tan x * sqrt(3) >= 3 + Tan x * sqrt(3).

6. Перенесите все члены с Tan x на одну сторону неравенства, а все остальные члены на другую.
-2 * Tan x * sqrt(3) >= 2.

7. Разделите обе части неравенства на -2sqrt(3).
Tan x <= -1 / sqrt(3).

8. Используем определение тангенса тому, что Tan x = Sin x / Cos x.
Sin x / Cos x <= -1 / sqrt(3).

9. Умножьте обе части неравенства на Cos x и получите два независимых неравенства:
Sin x <= -Cos x / sqrt(3).

и

Cos x <> 0 (т.к. при Cos x = 0 нарушается определение Cot x).

10. По определению синуса и косинуса, знак у Sin x и Cos x зависит от значения х в разных квадрантах:
- В первом квадранте Sin x > 0, Cos x > 0.
- Во втором квадранте Sin x > 0, Cos x < 0.
- В третьем квадранте Sin x < 0, Cos x < 0.
- В четвертом квадранте Sin x < 0, Cos x > 0.

11. Решим первое неравенство: Sin x <= -Cos x / sqrt(3).
Т.к. Sin x > 0 в первом и во втором квадранте, то:
(1) В первом квадранте:
Sin x <= -Cos x / sqrt(3)
Sin x <= -1 / sqrt(3), т.к. Cos x = Cos (180 - x) = -1 / sqrt(3) при x = 180 - 30 = 150 градусов.
(2) Во втором квадранте:
Sin x <= -Cos x / sqrt(3)
Sin x <= 1 / sqrt(3), т.к. Cos x = -Cos (180 - x) = 1 / sqrt(3) при x = 180 + 30 = 210 градусов.

12. Решим условие Cos x <> 0.
Cos x <> 0, т.е. x не равен кратным 90 градусам.
В итоге, получим, что решением исходного неравенства являются углы, находящиеся в первом и во втором квадрантах и не равные 150 градусам и 210 градусам.