Число 3 возвели в 23ю степень. полученное число вновь возвели в 23ю степень и так далее. возведение повторено2015 раз. определите последнюю цифру полученного числа.

3^1=3
3^2=9
З^3=27
3^4=81
3^5=243
3^6=729
3^7=2187
3^8=6561 
Видно, что при возведении в степень числа 3 последняя цифра в результате чередуется в следующей последовательности:
3, 9, 7, 1.
Далее можно не записывать первые цифры результата, а учитывать только последние цифры, посколько именно они влияют на последнюю цифру итогового числа.
3^9=...3
3^10=...9
3^11=...7
3^12=...1
3^13=...3
3^14=...9
3^15=...7
3^16=...1
3^17=...3
3^18=...9
3^19=...7
З^20=...1
3^21=...3
3^22=...9
3^23=...7

То есть 3^23 заканчивается цифрой 7. 
Далее можно не записывать первые цифры результата, а учитывать только последние цифры, поскольку именно они влияют на последнюю цифру итогового числа.
 теперь возводим в 23 степень число, оканчивающееся на 7.
7^1=...7
7^2=...9
7^3=...3
7^4=...1
7^5=...7
7^6=...9
7^7=...3
7^8=...1
7^9=...7
7^10=...9
7^11=...3
7^12=...1
7^13=...7
7^14=...9
7^15=...3
7^16=...1
7^17=...7
7^18=...9
7^19=...3
7^20=...1
7^21=...7
7^22=...9
7^23=...3
То есть 7^23 заканчивается цифрой 3.

Для числа, оканчивающегося цифрой 3, мы уже выяснили, что оно, возведенное в 23 степень, оканчивается цифрой 7.
 
Так последние цифры в результатах возведения в 23 степень будут чередоваться, в конце будут стоять 7 либо 3.

Поскольку число 2015 нечетное, то последовательно все результаты возведения в 23 степень возводили в 23 степень нечетное количество раз. А это значит, что число, которое будет возводиться в 23 степень 2015-ый раз, будет оканчивается цифрой 7.
ответ: цифра 7.