Число 20! = 1·2·. .·20 = 2 432 902 008 176 640 000 имеет 41 040 натуральных
делителей. сколько среди них нечётных?

Ответы

rockmus 10.10.2020 23:40

Решение:

Разложим 20! на простые множители:

$20! =\\= 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8 \cdot 9 \cdot 10 \cdot 11 \cdot 12 \cdot 13 \cdot 14 \cdot 15 \cdot16 \cdot17 \cdot18 \cdot19 \cdot 20 =$

$= 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot (2 \cdot 2) \cdot 5 \cdot (2 \cdot 3) \cdot 7 \cdot (2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (3 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 5) \cdot 11 \cdot \\\cdot (2 \cdot 2 \cdot 3) \cdot 13 \cdot (2 \cdot 7) \cdot (3 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot 17 \cdot (2 \cdot 3 \cdot 3) \cdot 19 \cdot (2 \cdot 2 \cdot 5) =$

$= 2^{18} \cdot 3^8 \cdot 5^4 \cdot 7^2 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 19$

Понятно, что нечетные делители в своем разложении на множители не содержат двоек. Поэтому искомое множество делителей будет всеми делителями числа $A = 3^8 \cdot 5^4 \cdot 7^2 \cdot 11 \cdot 13 \cdot 17 \cdot 19$ .

Вспомним формулу количества делителей числа. Если число представимо в виде $p_1^{\alpha_1} \cdot p_2^{\alpha_2} \cdot p_3^{\alpha_3} \cdot ... \cdot p_n^{\alpha_n}$ (где p_1 , p_2 , p_3 , ... , p_n - различные простые числа), то количество его делителей вычисляется по формуле $(\alpha_1+1) \cdot (\alpha_2+1) \cdot (\alpha_3+1) \cdot ... \cdot (\alpha_n+1)$ .