Математика: Чему равна производная от (5x)^(ln x)

Решение:Здесь понадобится логарифмическое дифференцирование.Сначала нужно прологарифмировать как левую, так и правую части:Воспользуемся в правой части одним из свойств логарифма, из чего выйдет:Теперь выражаем производную:ответ:...

Чему равна производная от (5x)^(ln x)

Ответы

yana14102004 05.07.2020 12:18

Решение:

Здесь понадобится логарифмическое дифференцирование.

$y={(5x)}^{\ln x}$

Сначала нужно прологарифмировать как левую, так и правую части:

$\ln y=\ln {(5x)}^{\ln x}$

Воспользуемся в правой части одним из свойств логарифма, из чего выйдет:

$\ln y=\ln (5x)\cdot \ln (x) \\ \\ (\ln y)'=\Big(\ln (x) \cdot \ln (5x)\Big)' \\ \\ \Big(\dfrac{1}{y}\Big)\cdot y' = \Big(\ln (x)\Big)' \cdot \ln (5x) + \ln (x) \cdot \Big( \ln (5x)\Big)' \\ \\ \Big(\dfrac{1}{y}\Big)\cdot y' = \dfrac{\ln (5x)}{x}+\ln (x) \cdot \Big(\dfrac{1}{5x}\Big) \cdot 5$

Теперь выражаем производную:

$y'=y\cdot \Big(\dfrac{ \ln (5x)}{x} + \dfrac{\ln (x)}{x}\Big) \\ \\ y' = (5x)^{\ln x} \cdot \Big(\dfrac{ \ln (5x)}{x} + \dfrac{\ln (x)}{x}\Big) \\ \\ y'=(5x)^{\ln x}\cdot \Big(\dfrac{\ln (5x^2)}{x}\Big) \\ \\ \boxed{y'=5^{\ln x}\cdot x^{\ln x-1} \cdot \ln (5x^2)}$