Челлендж для смелых

пусть q=[0,1]^2 и f \in {\bf c}(q).

вычислить предел

\lim\limits_{n\to \infty}( \frac{(2n+1)! }{(})^{2}\int\limits_q (x_1x_2(1-x_1)(1-{n}f(x_1,x_2)dx_1dx_2

Error69 Error69    2   22.08.2019 12:32    0

Ответы
академег228 академег228  05.10.2020 12:31

f(\frac12,\frac12)

Пошаговое объяснение:

\displaystyle \left(\frac{(2n+1)!}{(n!)^2}\right)^2\iint_Qdx_1\,dx_2\,(x_1(1-x_1))^n(x_2(1-x_2))^n=\\=\left(\frac{(2n+1)!}{(n!)^2}\int_0^1 dx\, (x(1-x))^n\right)^2=:\left(\int_0^1 u_n(x)\,dx\right)^2

Выражение в скобках равно 1, достаточно n раз проинтегрировать по частям:

\displaystyle \int_0^1 dx\, x^n(1-x)^n=-\frac1{n+1}\left.x^n(1-x)^{n+1}\right|_0^1+\frac n{n+1}\int_0^1dx\, x^{n-1}(1-x)^{n+1}=\\=\frac{n(n-1)}{(n+1)(n+2)}\int_0^1dx\,x^{n-2}(1-x)^{n+2}=\dots=\\=\frac{n!}{(n+1)(n+2)\cdots2n}\int_0^1 dx\,(1-x)^{2n}=\frac{(n!)^2}{(2n+1)!}

Тогда

\displaystyle\iint_Qdx_1\,dx_2\,u_n(x_1)u_n(x_2) f(x_1,x_2)=f\left(\frac12,\frac12\right)+\iint_Qdx_1\,dx_2\,u_n(x_1)u_n(x_2)\times\\\times\left(f(x_1,x_2)-f\left(\frac12,\frac12\right)\right)

Значение интеграла стремится к нулю: функции u_n(x) быстро уменьшаются при отдалении от x=1/2, а вблизи точки A=(1/2,1/2) разность значений функций мала ввиду непрерывности f.

Более формально:  

1. Функция f непрерывна, поэтому для любого \varepsilon0 найдётся такая \delta0, что для всех (x_1,x_2) из U=[1/2-\delta,1/2+\delta]^2 выполнено неравенство |f(x_1,x_2)-f(A)|

2. Функция f непрерывна на компакте Q, тогда она ограничена на Q. Тогда найдётся число M > 0, для которого |f(x_1,x_2)-f(A)| при всех (x_1,x_2)\in Q.

3. Очевидно, максимум функции u_n(x) на множестве [0,1]\backslash[1/2-\delta,1/2+\delta] достигается в точках 1/2\pm\delta. Покажем, что при возрастании n он становится сколь угодно малым (в частности, найдётся такое N, что при всех n > N максимум будет меньше \sqrt{\varepsilon/2M}).

Формула Стирлинга позволяет получить асимптотику для коэффициента с факториалами:

(2n+1)\dfrac{(2n)!}{(n!)^2}\sim\dfrac{(2n+1)4^n}{\sqrt{\pi n}}

Тогда максимум при больших n будет «примерно»

\dfrac{(2n+1)4^n}{\sqrt{\pi n}}\cdot\left(\dfrac14-\delta^2\right)^n\sim2\sqrt{\dfrac{n}{\pi}}(1-4\delta^2)^n\to 0

Собираем вместе: для любого \varepsilon0 найдётся такое N, что при всех n > N

\displaystyle\left|\iint_Qdx_1\,dx_2\,u_n(x_1)u_n(x_2)\times\left(f(x_1,x_2)-f\left(M\right)\right)\right|=\left|\displaystyle\iint_U+\iint_{Q\backslash U}\dots\right|

ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Математика