Выражение в скобках равно 1, достаточно n раз проинтегрировать по частям:
Тогда
Значение интеграла стремится к нулю: функции быстро уменьшаются при отдалении от , а вблизи точки разность значений функций мала ввиду непрерывности f.
Более формально:
1. Функция f непрерывна, поэтому для любого найдётся такая , что для всех из выполнено неравенство
2. Функция f непрерывна на компакте Q, тогда она ограничена на Q. Тогда найдётся число M > 0, для которого при всех .
3. Очевидно, максимум функции на множестве достигается в точках . Покажем, что при возрастании n он становится сколь угодно малым (в частности, найдётся такое N, что при всех n > N максимум будет меньше ).
Формула Стирлинга позволяет получить асимптотику для коэффициента с факториалами:
Тогда максимум при больших n будет «примерно»
Собираем вместе: для любого найдётся такое N, что при всех n > N
Пошаговое объяснение:
Выражение в скобках равно 1, достаточно n раз проинтегрировать по частям:
Тогда
Значение интеграла стремится к нулю: функции быстро уменьшаются при отдалении от , а вблизи точки разность значений функций мала ввиду непрерывности f.
Более формально:
1. Функция f непрерывна, поэтому для любого найдётся такая , что для всех из выполнено неравенство
2. Функция f непрерывна на компакте Q, тогда она ограничена на Q. Тогда найдётся число M > 0, для которого при всех .
3. Очевидно, максимум функции на множестве достигается в точках . Покажем, что при возрастании n он становится сколь угодно малым (в частности, найдётся такое N, что при всех n > N максимум будет меньше ).
Формула Стирлинга позволяет получить асимптотику для коэффициента с факториалами:
Тогда максимум при больших n будет «примерно»
Собираем вместе: для любого найдётся такое N, что при всех n > N