Будет ли заданное отношение эквивалентностью на указанном множестве: 1) «иметь одинаковую высоту» (на множестве гор в Европе);

2) «находиться на одинаковой высоте над уровнем моря» (для всех населенных пунктов Тибета);

3) «иметь одинаковую протяженность» (для всех рек России);

4) «иметь одинаковую загрязненность санитарной зоны предприятия» (для всех предприятий Смоленска);

5) «иметь численность населения не менее 5000 человек» (для всех населенных пунктов Подмосковья);

6) «иметь одинаковую степень риска извержения» (для всех вулканов Земли);

7) «иметь общую границу» (для всех государств Европы);

8) «иметь общие экономические интересы на Ближнем Востоке» (для всех государств – членов ООН);

9) «иметь одинаковую глубину» (для всех ущелий Кавказа);

10) «быть равноудаленными от Москвы» (на множестве городов России).

Для определения, является ли заданное отношение эквивалентностью на указанном множестве, необходимо проверить выполнение трех условий: рефлексивности, симметричности и транзитивности.

1) Отношение «иметь одинаковую высоту» на множестве гор в Европе:

- Рефлексивность: Два объекта (горы) будут иметь одинаковую высоту, поскольку любая гора имеет высоту саму по себе. Таким образом, это отношение является рефлексивным.

- Симметричность: Если горы А и Б имеют одинаковую высоту, то это означает, что высота А равна высоте Б, и высота Б равна высоте А. Следовательно, отношение также является симметричным.

- Транзитивность: Если горы А и Б имеют одинаковую высоту, и горы Б и В также имеют одинаковую высоту, то можно сделать вывод, что горы А и В имеют одинаковую высоту. Таким образом, отношение также является транзитивным.

Итак, отношение «иметь одинаковую высоту» на множестве гор в Европе является отношением эквивалентности.

2) Отношение «находиться на одинаковой высоте над уровнем моря» для всех населенных пунктов Тибета:

- Рефлексивность: Все населенные пункты Тибета находятся на определенной высоте над уровнем моря, так как это гористая местность. Таким образом, это отношение является рефлексивным.

- Симметричность: Если населенный пункт А находится на одинаковой высоте над уровнем моря, что и населенный пункт Б, то это означает, что и населенный пункт Б также находится на той же самой высоте, что и А. Следовательно, отношение также является симметричным.

- Транзитивность: Если населенный пункт А находится на одинаковой высоте над уровнем моря, что и населенный пункт Б, и населенный пункт Б находится на той же самой высоте, что и населенный пункт В, то можно сделать вывод, что и населенный пункт А находится на той же самой высоте, что и В. Таким образом, отношение также является транзитивным.

Отношение «находиться на одинаковой высоте над уровнем моря» для всех населенных пунктов Тибета является отношением эквивалентности.

Подобное объяснение применяется для решения всех остальных пунктов из вопроса. Наиболее сложными пунктами могут быть 4) и 8), в которых предполагается ведение анализа загрязненности санитарной зоны и общих экономических интересов государств. Однако, опираясь на приложенные данные и предполагая их сопоставимость, можно сделать аналогичные выводы относительно рефлексивности, симметричности и транзитивности данных отношений.