Алиса хочет вписать 6 чисел в кружки так, чтобы суммы чисел в вершинах всех пяти треугольников были равными. какое наибольшее количество различных чисел может оказаться на рисунке?

samsunguser samsunguser    3   22.07.2019 02:30    2

Ответы
lolgg2 lolgg2  15.09.2020 21:25
Обозначим все числа, начиная с того, что стоит в верхнем кружкке, по часовой стрелке, как   a_1 \ , \ a_2 \ , \ a_3 \ , \ a_4 \   и   a_5 \ .   Число, которое стоит в центре обозначим, как   a_o \ .

Равенство всех пяти сумм чисел, стоящих в вершинах треугольников, выражается уравнениями:

a_o + a_1 + a_2 = a_o + a_2 + a_3 = a_o + a_3 + a_4 = a_o + a_4 + a_5 = a_o + a_5 + a_1 \ ;

Заметим, что во всех суммах, помимо прочих (что можно легко понять и просто из рисунка) присутствует одно и то же число   a_o \ .

Так что это число может быть совершенно произвольным: простым, натуральным, целым, дробным, иррациональным, да хоть комплексным... Это ничего не изменит, поскольку данное число входит во все суммы в единичном экземпляре.

Вычеркнем из вышеозначенных уравнений проанализированное число и рассмотрим уравнения в упрощённом варианте:

a_1 + a_2 = a_2 + a_3 = a_3 + a_4 = a_4 + a_5 = a_5 + a_1 \ ;

Из первого равенста следует, что:

a_1 + a_2 = a_2 + a_3 \ ; \Rightarrow a_1 = a_3 \ ;

Из третьего равенста следует, что:

a_3 + a_4 = a_4 + a_5 \ ; \Rightarrow a_5 = a_3 = a_1 \ ;

Поскольку: a_5 + a_1 = a_1 + a_2 \ ;   то:   a_2 = a_5 = a_3 = a_1 \ ;

Из второго равенста следует, что:

a_2 + a_3 = a_3 + a_4 \ ; \Rightarrow a_4 = a_2 = a_5 = a_3 = a_1 \ ;

Таким образом, все «вершинные» числа должны быть равны между собой, а центральное при этом может быть каким угодно.

Значит на рисунке может оказаться одно или два различных числа.
Максимум : 2 .

О т в е т : 2 .
ПОКАЗАТЬ ОТВЕТЫ
Другие вопросы по теме Математика