A pipe can fill a pool four hours faster than another pipe. The slower pipe filled the pool for seven hours, then the other pipe was opened. The pipes then filled the pool in two hours, working together. How long would each pipe take to fill the pool alone​? Help me, please!

Хорошо, давайте решим эту задачу шаг за шагом:

Параметры:
Пусть одна труба, которая заполняет бассейн медленнее, заполняет бассейн в течение x часов. Тогда другая труба, которая заполняет бассейн быстрее, заполнит его за x - 4 часа.

Сначала вспомним формулу, которую мы будем использовать:

Рабочая скорость = 1 / Время, за которое задача выполняется.

Теперь рассмотрим шаги по решению задачи:

Шаг 1: Найдем скорость работы каждой трубы по отдельности.

- Первая труба, которая работает медленнее, заполняет бассейн за x часов. Используя формулу, мы находим рабочую скорость этой трубы: Скорость первой трубы = 1 / x.
- Вторая труба, которая работает быстрее, заполняет бассейн за x - 4 часа. Скорость второй трубы = 1 / (x - 4).

Шаг 2: Найдем скорость работы обеих труб вместе.

- Мы знаем, что обе трубы заполнили бассейн за 2 часа вместе. Скорость работы обеих труб вместе = 1 / 2.

Шаг 3: Найдем рабочую скорость каждой трубы и сложим их, чтобы получить скорость работы обеих труб вместе.

- Мы знаем, что скорость работы обеих труб вместе равна 1 / 2 (из шага 2). Мы также знаем, что скорость первой трубы = 1 / x и скорость второй трубы = 1 / (x - 4). Таким образом, мы можем записать уравнение: 1 / x + 1 / (x - 4) = 1 / 2.

Шаг 4: Решим уравнение.

- Для решения уравнения нам нужно избавиться от знаменателя и переписать его в более простой форме. Для этого мы умножим каждый термин уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей (в данном случае 2x(x-4)):

2(x - 4) + 2x = x(x - 4).

- Раскроем скобки и упростим уравнение:

2x - 8 + 2x = x^2 - 4x.

4x - 8 = x^2 - 4x.

- Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить уравнение:

x^2 - 8x - 4x + 8 = 0.

x^2 - 12x + 8 = 0.

Шаг 5: Найдем значения x, которые являются решениями уравнения.

- Мы можем использовать факторизацию, квадратное уравнение или формулу квадратного корня, чтобы решить это квадратное уравнение. Давайте воспользуемся формулой квадратного корня:

x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a.

В данном случае a = 1, b = -12 и c = 8. Подставим значения в формулу:

x = (-(-12) ± √((-12)^2 - 4*1*8)) / (2*1).

x = (12 ± √(144 - 32)) / 2.

x = (12 ± √112) / 2.

x = (12 ± √(16*7)) / 2.

x = (12 ± 4√7) / 2.

x = 6 ± 2√7.

Таким образом, получаем два решения: x = 6 + 2√7 и x = 6 - 2√7.

Шаг 6: Проверим решения.

- Исходная задача указывает, что первая труба заполнила бассейн в течение 7 часов, а затем была открыта вторая труба. Затем обе трубы вместе заполнили бассейн за 2 часа. Если мы используем одно из решений (например, x = 6 + 2√7), мы можем проверить, соответствует ли это условию.

Скорость первой трубы = 1 / (6 + 2√7) = (6 - 2√7) / (36 - (2√7)^2) = (6 - 2√7) / (36 - 4*7) = (6 - 2√7) / 8 = 3/4 - (1/4)√7.

Скорость второй трубы = 1 / (6 - 2√7) = (6 + 2√7) / (36 - (2√7)^2) = (6 + 2√7) / (36 - 4*7) = (6 + 2√7) / 8 = 3/4 + (1/4)√7.

Теперь проверим, сколько времени займет каждая труба, чтобы заполнить бассейн в одиночку:

Время, которое требуется первой трубе = 1 / (3/4 - (1/4)√7) = 1 / (3/4) + (1/4)√7 = 4/3 + (1/3)√7.

Время, которое требуется второй трубе = 1 / (3/4 + (1/4)√7) = 1 / (3/4) - (1/4)√7 = 4/3 - (1/3)√7.

Из полученных ответов мы можем заключить, что первая труба заполнит бассейн за 4/3 + (1/3)√7 часов, а вторая труба - за 4/3 - (1/3)√7 часов.

Таким образом, мы нашли два возможных решения для времени, за которое каждая труба может заполнить бассейн в одиночку: 6 + 2√7 и 6 - 2√7.