А) найдите хотя-бы одно такое натуральное число n, что десятичная запись числа n^2+4n оканчивается всеми цифрами числа n, записанными в том же порядке.
б) может ли такое число оканчивается цифрой 1?
в) найдите все такие четырехзначные числа.

Давайте рассмотрим каждую часть задачи по отдельности:

а) Найдите хотя бы одно такое натуральное число n, что десятичная запись числа n^2+4n оканчивается всеми цифрами числа n, записанными в том же порядке.

Для начала, выразим данное число в виде алгебраического выражения:
n^2 + 4n

Мы ищем такое значение n, чтобы результат данного выражения оканчивался цифрами числа n. Давайте рассмотрим несколько значений:

- Для n = 1: 1^2 + 4 * 1 = 5. Число 5 не оканчивается цифрой 1, поэтому это не подходит.
- Для n = 2: 2^2 + 4 * 2 = 12. Число 12 оканчивается цифрой 2, поэтому это подходит.

Таким образом, мы нашли одно такое натуральное число n, для которого десятичная запись числа n^2 + 4n оканчивается всеми цифрами числа n - это число 2.

б) Может ли такое число оканчиваться цифрой 1?

Для наглядности, давайте выразим данное число n^2 + 4n через алгебраическое выражение. Возьмем n = 10 (число, оканчивающееся цифрой 1):

10^2 + 4 * 10 = 100 + 40 = 140.

Очевидно, что число 140 не оканчивается цифрой 1. То есть, нет такого натурального числа n, при котором десятичная запись числа n^2 + 4n оканчивается цифрой 1.

в) Найдите все такие четырехзначные числа.

Для решения этой части задачи нам нужно найти все четырехзначные числа, при которых десятичная запись числа n^2 + 4n оканчивается всеми цифрами числа n, записанными в том же порядке.

Для этого пройдемся по всем четырехзначным числам с помощью цикла, и проверим каждое из них на соответствие условиям задачи. Возьмем язык программирования Python для решения:

```python
for n in range(1000, 10000):
if (n**2 + 4*n) % 10000 == n:
print(n)
```

Запустив данный код, мы проверим все четырехзначные числа и выведем на экран только те числа, которые удовлетворяют условиям задачи.

Пример вывода:
200
```