A+b+c=2(ab+bc+ca) доказать , что хотя бы одно из чисел является целым . (также известно , что abc=8)

Утверждение выглядит весьма странно. Но чего не бывает в этой жизни... Но давайте поэкспериментируем.

Пусть, скажем, a=1/2.
Получаем из первого равенства bc=1/4, из второго bc=16; значит, решений нет.  

Пусть a=1/4. Из первого равенства b+c+1/4=b/2+c/2+2bc;
b+c=4bc-1/2. Из второго равенства bc=32; подставим в первое:
b+c=255/2. Пользуясь теоремой Виета, составляем уравнение, корнями которого будут служить b и c:


Чтобы не приходилось работать с дробями, применим такой трюк: домножим уравнение на 4 и заменим 2t на p:

не является полным квадратом. Поэтому корни уравнения иррациональные, значит, b и c целыми быть никак не могут. Так что утверждение не только выглядит странно, но оно и неверно.