А(-1;0),В(4;0),С(1;-2), найти: уравнение высотыАД,, уравнение прямой проходящей через параллельно ВС,, уравнение прямой соединяющей середины сторон АВ и ВС, угол А треугольника АВС

А(-1;0),В(4;0),С(1;-2), найти:

1) уравнение высоты АД.  

Высота АД – это перпендикуляр к стороне ВС.

Вектор ВС = (1-4; -2-0) = (-3; -2).

Уравнение прямой ВС: (х – 4)/(-3) = у/(-2) каноническое

                                      -2х + 8 = -3у

                                      2х - 3у – 8 = 0         общее.

Для прямой в общем виде Ax + By + C = 0 перпендикулярная прямая меняет коэффициенты А и В на –В и А (из условия, что их скалярное произведение равно 0).

Тогда уравнение перпендикулярной прямой к прямой ВС будет иметь вид:

3x + 2y + С = 0. Для определения слагаемого С подставим координаты точки А(-1; 0).

3*(-1) + 2*0 + C = 0, отсюда С = 3.

ответ: 3x + 2y + 3 = 0.

2) уравнение прямой, проходящей через А параллельно ВС.

Коэффициенты при переменных у этой прямой такие же, как и у прямой ВС: 2х - 3у + С = 0. Подставим координаты точки А(-1; 0).

2*(-1) – 3*0 + С = 0, отсюда С = 2.

Получаем уравнение  2х - 3у + 2 = 0.

3) уравнение прямой, соединяющей середины сторон АВ и ВС.

Коэффициенты при переменных у этой прямой такие же, как и у прямой АС. Вектор АС = С(1;-2) - А(-1;0) = (2; -2).

Уравнение АС: (х + 1)/2 = у/(-2) или х + у + 1 = 0.

Найдём середину Д стороны АВ.

Д = (А(-1;0)+В(4;0))/2 = (1,5; 0).

Подставим координаты точки Д в уравнение прямой х + у + С = 0.

1,5 + 0 + С = 0, отсюда С = -1,5.

Уравнение х + у - 1,5 = 0 или в целых числах 2х + 2у - 3 = 0.

4) угол А треугольника АВС. А(-1;0),В(4;0),С(1;-2).

Находим векторы и их модули.

АВ = (4-(-1); 0-0) = (5; 0). |AB| = 5.

AC = (2; -2). |AC) = √(2² + (-2)²) = √(4 + 4) = √8 = 2√2.

Теперь находим косинус угла А.

cos A = (5*2 + 0*(-2))/(5*2√2) = 10/(10√2) = 1/√2.

Угол А = arccos(1/√2) = 45 градусов.