8. А(1;3;1), B(-1;4;6), C(-2; –3;4). Найти
a)|-2.АВ + AC|, б) направляющие углы АС.

Даны точки А(1;3;1), B(-1;4;6), C(-2; –3;4).

Найти:

a)|-2.АВ + AC|,

б) направляющие углы АС.

а) Находим векторы АВ и АС.

АВ = (-1-1; 4-3; 6-1) = (-2; 1; 5), 2АВ = (-4; 2; 10)

АС = (-2-1; -3-3; 4-1) = (-3; -6; 3).

Вектор, равный сумме 2АВ + АС равен:

(-7; -4; 13).

Его модуль равен  √((-7)²+(-4)²+13²) = √(49+16+169) = √234 = 3√26.

ответ: |-2.АВ + AC| = 3√26.

б) Направляющие косинусы находим по формулам:

cos⁡α=ax/|a¯|=ax/√(ax²+ay²+az²),

cos⁡β=ay/|a¯|=ay/√(ax²+ay²+az²),

cos⁡γ=az/|a¯|=az/√(ax²+ay²+az²).

Подставим в них координаты вектора AC, получим

cos⁡α=ax/|a¯| = -3//√((-3)²+(-6)²+3²) = -3/√(9+36+9) = -3/√54 = -1/√6 = -√6/6.

cos⁡β=ay/|a¯| = −6/(3√6) = -2/√6 = -√6/3.

cos⁡γ=az/|a¯| = 3/(3√6) = 1/√6 = √6/6.

ответ. cos α = -√6/6, cos β = -√6/3, cos γ= √6/6.