7. Знайдіть кут А трикутника ABC, якщо А(1;0;2), B(1;-4;3),
C(-1;-1;3).

Для знаходження кута А трикутника ABC можна використовувати косинусну теорему, яка має вигляд:

cos(A) = (b² + c² - a²) / (2 * b * c),

де a, b, c - довжини сторін трикутника протилежні куту A.

У даному випадку, нам потрібно знайти кут А, який відповідає вершині А. Тому сторони a, b, c будуть відповідно |BC|, |AC|, |AB|.

Для знаходження довжин сторін трикутника можна скористатися формулою відстані між двома точками у тривимірному просторі:

|AB| = sqrt((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²).

Підставляючи відомі координати точок, маємо:

|BC| = sqrt((1 - (-1))² + (-4 - (-1))² + (3 - 3)²) = sqrt(2² + (-3)² + 0²) = sqrt(4 + 9) = sqrt(13),

|AC| = sqrt((1 - 1)² + (0 - (-1))² + (2 - 3)²) = sqrt(0² + 1² + (-1)²) = sqrt(1 + 1) = sqrt(2),

|AB| = sqrt((1 - 1)² + (-4 - 0)² + (3 - 2)²) = sqrt(0² + (-4)² + 1²) = sqrt(16 + 1) = sqrt(17).

Підставляючи значення у формулу косинусної теореми, отримуємо:

cos(A) = (sqrt(13)² + sqrt(2)² - sqrt(17)²) / (2 * sqrt(13) * sqrt(2)) = (13 + 2 - 17) / (2 * sqrt(13) * sqrt(2)) = -2 / (2 * sqrt(13) * sqrt(2)) = -1 / (sqrt(13) * sqrt(2)) = -1 / sqrt(26).

Таким чином, кут А трикутника ABC дорівнює арккосинусу (-1 / sqrt(26)):

A = arccos(-1 / sqrt(26)) ≈ 2.156 рад, або приблизно 123.8 градусів (заокруглено до одного знаку після коми).