#7 Найдите первую цифру наименьшего числа большего 1, являющегося полным квадратом, где число натуральных делителей полный квадрат.
а)3; б)4; в)5; г)2

Question

Математика: #7 Найдите первую цифру наименьшего числа большего 1, являющегося полным квадратом, где число натуральных делителей полный квадрат.а)3; б)4; в)5; г)2

viahseslav · Answer

Рассмотрим разложение числа полного квадрата на простые: $n = p_{1}^{2\alpha_{1}}\cdot\ldots\cdot p_{k}^{2\alpha_{k}}$ . Число делителей такого числа равно $(2\alpha_{1}+1)\cdot\ldots \cdot(2\alpha_{k}+1)$ и является полным квадратом. Это число нечетно, а потому хотя бы . Значит, можно взять $\alpha_{1}=\alpha_{2}=1$ , что дает число, не меньшее $2^{2}\cdot 3^2 = 36$ . Если простых три, получаем большие числа, а если одно, то $\alpha_{1}\geq 4$ , а соответствующее число $2^{8}=25636$ .