7. Даны точки А(–3; 0; 0), В(0; –2; 11), С(0; 14; 3), D(6; 3; 1). Найти: координаты векторов АВ, ВД, СА; координаты середины М отрезка АВ; длины векторов ДС, АВ; угол между векторами СД, ДВ.

Пошаговое объяснение:

AB = {Bx - Ax; By - Ay; Bz - Az} = {0 - (-3); -2 - 0; 11 - 0} = {3; -2; 11}

AB = {3; -2; 11}

BD = {Dx - Bx; Dy - By; Dz - Bz} = {6 - 0; 3 - (-2); 1 - 11} = {6; 5; -10}

BD = {6; 5; -10}

CA = {Ax - Cx; Ay - Cy; Az - Cz} = {-3 - 0; 0 - 14; 0 - 3} = {-3; -14; -3}

CA = {-3; -14; -3}

DC = {Cx - Dx; Cy - Dy; Cz - Dz} = {0 - 5; 14 - 3; 3 - 1} = {-5; 11; 2}

DC = {-5; 11; 2}

DB = {Bx - Dx; By - Dy; Bz - Dz} = {0 - 6; 14 - 3; 3 - 1} = {-6; 11; 2}

DB = {-6; 11; 2}

координаты середины М отрезка АВ

Мх =   (Ax + Bx)/ 2  =   (-3 + 0)/ 2  =  ( -3)/ 2  = -1.5

Мy =   (Ay + By)/ 2  =   (0 + (-2)/ 2  =   -2 /2  = -1

Мz =   (Az + Bz)/ 2  =   (0 + 11)/ 2  =   11 /2  = 5.5

Координаты середины М отрезка AB  ( -1.5, -1, 5.5)

длины векторов

|DC| = √((DCх)² + (DCy)² + (DCz)² ) = √((-5)² + 11² + 2²) = √(25 + 121 + 4) = √150 = 5√6

|АВ| = √((АВx)² + (АВy)² + (АВz)²) = √(32 + (-2)2 + 112) = √(9 + 4 + 121) = √134

угол между векторами СD, DВ.

скалярное произведение векторов:  

CD * DB = CDx * DBx + CDy * DBy + CDz *DBz = 6 * (-6) + (-11) * 11 + (-2) * 2 = -36 - 121 - 4 = -161

длины векторов:

|CD| = √((CDx)² + (CDy)² + (CDz)²) = √(6² + (-11)² + (-2)²) = √(36 + 121 + 4) = √161

|DB| = √((DBx)² + (DBy)² + (DBz)²) = √((-6)² + 11² + 2²)) = √(36 + 121 + 4) = √161

угол

cos α =  (CD · DB )/(|CD||DB| ) = (-161) /  (√161* √161 ) = -1

α = 180°