7-5. Одна (и только одна) из цифр пятизначного числа — двойка. Если вычеркнуть двойку, то число уменьшится ровно в 9 раз. На каком месте стоит двойка? Найдите все
числа, обладающие этим свойством.​

Покажем, что последняя цифра не может быть двойкой. Действительно, если это так, то пусть . Тогда , но поскольку эти числа отличаются лишь последней цифрой (и 2>0), то , противоречие.

Это был один из начать рассуждение, которое, однако, вряд ли к чему либо приведет.

Рассмотрим другой подход. Заметим, что . Пусть исходное число построено так: . Пусть . Тогда , противоречие. Аналогично доказывается для любой позиции двойки в числе, кроме второй слева. Идея состоит в том, что вычитаемое четырехзначное число достает таким образом до позиции, которая остается в числе, а значит, нарушает равенство. Остается лишь сделать так, чтобы эта позиция исчезала. Собственно, поставить двойку на вторую позицию

Теперь рассмотрим вычитание столбиком:

, откуда ясно, что , или , но два быть не может, поскольку у нас ровно одна двойка, или , наконец или .

Получаем два числа: и .