6. Иллюминация освещается от источника, расположенного на расстоянии 7 м от здания. Функция зависимости расстояния а от угла в имеет вид

Для начала, давайте разберемся, что такое иллюминация. Иллюминация - это световой поток, который осязаемо падает на единицу поверхности. И модель иллюминации может представляться в виде функции, зависящей от расстояния и угла.

В данном случае, нам дана функция зависимости расстояния а от угла в имеющего вида:

а = 200сos^2(в) / (7 + 2в)^2,

где а - иллюминация, в - угол в радианах.

Наша цель - найти максимальное значение иллюминации и соответствующий угол.

1. Найдем производную функции а по углу в для нахождения экстремума:
d(а) / d(в) = d(200сos^2(в) / (7 + 2в)^2) / d(в).

Для упрощения нахождения производной, мы можем воспользоваться правилами дифференцирования. В данном случае, исходную функцию можно представить как f(в) = g(в) / h(в), где g(v) = 200sin^2(v) и h(v) = (7 + 2v)^2.

Теперь, мы можем воспользоваться правилом дифференцирования для частного функций:

d(f(g) / h) / d(в) = (hg' - gh') / h^2,

где g' и h' - производные градиента и градиента h соответственно.

Подставим наши значения и упростим формулу:

d(а) / d(в) = (200sin^2(в)(14 + 4в) - 200sin^2(в) * 2(7 + 2в)) / (7 + 2в)^4.

2. Теперь, нам нужно приравнять эту производную к нулю и решить уравнение для определения точки экстремума:

(200sin^2(в)(14 + 4в) - 200sin^2(в) * 2(7 + 2в)) / (7 + 2в)^4 = 0.

Упростим это уравнение:

sin^2(в)(14 + 4в) - sin^2(в)(7 + 2в) = 0.

Поделим обе части уравнения на sin^2(в):

(14 + 4в) - (7 + 2в) = 0.

Упростим:

7 + 2в - 14 - 4в = 0.

-2в - 7 = 0.

-2в = 7.

в = -7/2.

3. Теперь, чтобы определить, является ли это максимумом или минимумом, нужно взять вторую производную и проверить ее знак:

d^2(а) / d(в)^2 = d(-2в - 7)^2 / d(в)^2.

d^2(а) / d(в)^2 = -2.

Так как вторая производная отрицательна, это означает, что точка -7/2 является точкой максимума.

Таким образом, максимальная иллюминация достигается при угле -7/2, и соответствующее значение иллюминации будет:

а = 200сos^2(-7/2) / (7 + 2(-7/2))^2.

Вычислим значение иллюминации:

а = 200сos^2(-7/2) / (7 - 7)^2.

Так как косинус квадрата угла в симметричен, мы можем записать:

а = 200сос^2(7/2) / (0)^2.

Так как знаменатель равен 0, это означает, что иллюминация в этой точке равна бесконечности.

Ответ: Максимальная иллюминация достигается при угле -7/2 и значение иллюминации в этой точке равно бесконечности.