50 ! обратная матрица. теорема о структуре обратной матрицы. (кратко)

Для любой несингулярной матрицы A существует единственная обратная матрица:Сингулярная матрица не имеет обратной матрицы. 

Доказательство.Предположим, что для матрицы  A существует обратная матрица . Тогда.Учитывая, что определитель произведения матриц равен произведению определителей, получаеми, следовательно, Это означает, что сингулярные матрицы не имеют обратных матриц.Предположим теперь, что существуют две обратные матрицы,  и . ТогдаиИспользуем эти равенства для преобразования матрицы :что доказывает утверждение об единственности обратной матрицы.

В соответствии с Леммой 2Следовательно,

Теорема. Для любой несингулярной матрицы A существует единственная обратная матрица:Сингулярная матрица не имеет обратной матрицы. 

Доказательство.Предположим, что для матрицы  A существует обратная матрица . Тогда.Учитывая, что определитель произведения матриц равен произведению определителей, получаеми, следовательно, Это означает, что сингулярные матрицы не имеют обратных матриц.Предположим теперь, что существуют две обратные матрицы,  и . ТогдаиИспользуем эти равенства для преобразования матрицы :что доказывает утверждение об единственности обратной матрицы.

В соответствии с Леммой 2Следовательно,