5) на листке написано несколько натуральных чисел. известно, что для любых двух найдётся на листке число, которое на каждое из них делится. докажите, что на листке найдётся число, которое делится на все числа
6) по кругу выписано несколько чисел, каждое из которых равно среднему арифметическому двух соседних с ним. докажите, что все эти числа равны
7) на шахматной доске стоят несколько ладей. обязательно ли найдется ладья, бьющий не более (а) трех, (б) двух других (перепрыгивать через другие фигуры ладья не может)

5) Для доказательства этого утверждения воспользуемся методом математической индукции.

Предположим, что на листке есть два числа, и пусть эти числа обозначаются как a и b. Тогда, по условию, найдется число, которое делится на a и b. Пусть это число обозначается как c. Теперь рассмотрим третье число d на листке. Из условия задачи следует, что найдется число, которое делится и на a, и на d. Пусть это число обозначается как e. Теперь мы знаем, что число e делится на a, b и d.

Теперь рассмотрим следующее число на листке, обозначим его как f. Из условия задачи следует, что найдется число, которое делится и на a, и на f. Пусть это число обозначается как g. Теперь мы знаем, что число g делится на a, b, d и f.

Мы можем продолжать этот процесс для всех чисел на листке, и каждый раз мы будем находить число, которое делится на все предыдущие числа. Таким образом, мы доказали, что на листке найдется число, которое делится на все числа.

6) Для доказательства этого утверждения также воспользуемся методом математической индукции.

Предположим, что на круге есть два числа, и пусть эти числа обозначаются как a и b. По условию, каждое число на круге равно среднему арифметическому двух соседних чисел. Тогда число, которое находится между a и b (противоположное направлению обхода круга), также равно среднему арифметическому a и b.

Теперь рассмотрим третье число c на круге. По условию, оно равно среднему арифметическому двух соседних чисел. Мы уже знаем, что число, которое находится между a и b, равно среднему арифметическому a и b. Таким образом, среди чисел a, b и c всегда найдется число, которое равно среднему арифметическому двух соседних чисел.

Мы можем продолжать этот процесс для всех чисел на круге, и каждый раз мы будем находить число, которое равно среднему арифметическому двух соседних чисел. Таким образом, мы доказали, что все числа на круге равны.

7) Чтобы решить эту задачу, рассмотрим два случая: a) когда нужно найти ладью, бьющую не более трех других, и б) когда нужно найти ладью, бьющую не более двух других.

а) Предположим, что на шахматной доске есть ладьи, бьющие не более трех других. Расположим эти ладьи на доске. Так как каждая ладья может атаковать любую клетку по горизонтали или вертикали, то каждая ладья, бьющая другую, должна быть находиться либо на той же горизонтали, либо на той же вертикали. Предположим, что существует ладья A, которую можно переместить таким образом, чтобы она не атаковала других двух ладей, и она будет находиться на одной горизонтали или вертикали с ладьями B и C.

Теперь мы можем переместить ладью B на ту же горизонталь или вертикаль, где находится ладья A, и тоже самое сделать с ладьей C. Таким образом, ладьи A, B и C могут находиться на одной прямой линии без возможности друг друга атаковать. Это противоречит условию задачи, что ладьи не более трех бьющих других. Следовательно, среди данных ладей должна существовать хотя бы одна ладья, которая бьет более трех других ладей.

б) Предположим, что на шахматной доске есть ладьи, бьющие не более двух других. Расположим эти ладьи на доске. Каждая ладья атакует клетки по горизонтали и вертикали, но не атакует клетку, на которой она сама находится. Предположим, что все ладьи бьют разные клетки.

Так как каждая ладья может атаковать только по горизонтали или по вертикали, то она атакует одну диагональ непрерывных клеток. Предположим, что ладья A атакует диагональ D1, ладья B атакует диагональ D2 и ладья C атакует диагональ D3.

Теперь рассмотрим клетку, которая находится на диагонали D1 между ладьей B и ладьей C. Эта клетка не атакуется ни одной ладьей, потому что ладьи B и C атакуют только клетки на диагоналях D2 и D3, соответственно. Таким образом, мы нашли клетку, которая не атакуется ни одной из данных ладей, что противоречит условию задачи, что каждая ладья бьет не более двух других.

Следовательно, в обоих случаях существует ладья, которая бьет более трех или двух других ладей соответственно.