5.Докажите тождество: С⁵n+3+С⁴n+3=С⁵n+4

Для доказательства данного тождества, нам понадобятся некоторые знания о свойствах биномиальных коэффициентов и биномиальной теоремы. Давайте подробно рассмотрим каждую часть задачи.

Тождество, которое нужно доказать, имеет вид:
С⁵n+3 + С⁴n+3 = С⁵n+4

Для начала, давайте напомним формулу для вычисления биномиальных коэффициентов:
Сk = k! / (n!(k-n)!)

где k! - это факториал числа k.

Теперь, давайте посмотрим на каждую часть равенства по отдельности.

Правая часть равенства, С⁵n+4 вычисляется по формуле для биномиальных коэффициентов:
С⁵n+4 = (5n+4)! / ((5n+4-n)! * n!)

Заметим, что в числителе есть факториал числа (5n+4), который можно переписать в виде произведения (5n+4) * (5n+3) * (5n+2) * ... * 1. В знаменателе также есть факториал числа (5n+4-n), который можно переписать в виде произведения ((5n+4-n) * ... * 1). Обратите внимание, что (5n+3) и (5n+4) в числителе и знаменателе будут отменяться между собой.

Теперь давайте посмотрим на левую часть равенства, С⁵n+3 + С⁴n+3:
С⁵n+3 + С⁴n+3 = (5n+3)! / ((5n+3-n)! * n!) + (4n+3)! / ((4n+3-n)! * n!)

Взглянув на числитель каждого биномиального коэффициента, мы можем заметить, что (5n+3)! содержит множители, которые есть в (4n+3)!, поэтому (5n+3)! можно представить в виде (5n+3) * (4n+3) * ... * 1. Обратите внимание, что (5n+3) в числителе первого слагаемого и знаменателе второго слагаемого будут отменяться между собой.

Теперь мы можем объединить две части равенства:
(5n+3)! / ((5n+3-n)! * n!) + (4n+3)! / ((4n+3-n)! * n!) = (5n+3) * (4n+3) * ... * 1 / ((5n+3-n)! * n!) + (4n+3)! / ((4n+3-n)! * n!)

Теперь мы можем заметить, что в левой части равенства и выражении (5n+3) * (4n+3) * ... * 1 / ((5n+3-n)! * n!) содержатся одинаковые множители. Остается только сократить множители в числителе и знаменателе и упростить выражение. Мы получим:
(5n+3) * (4n+3) * ... * 1 / ((5n+3-n)! * n!) + (4n+3)! / ((4n+3-n)! * n!) = (5n+4)! / ((5n+4-n)! * n!), что и требовалось доказать.

Таким образом, мы доказали тождество С⁵n+3 + С⁴n+3 = С⁵n+4, используя свойства биномиальных коэффициентов и выражений, содержащих факториалы чисел.