3x≡5(mod 7) решить сравнение

Для решения данного сравнения нам нужно найти такое число x, которое удовлетворяет условию 3x ≡ 5 (mod 7), то есть имеет тот же остаток от деления на 7 при умножении на 3, что и число 5. Давайте последовательно выполним несколько шагов.

1. Начнем с умножения обеих частей сравнения на обратный элемент для 3 по модулю 7. Обратным элементом для 3 будет число 5, так как 3*5 ≡ 1 (mod 7). Умножим обе части сравнения на 5:
(5*3x) ≡ (5*5) (mod 7).

2. Упростим выражение:
15x ≡ 25 (mod 7).

3. Сократим обе части сравнения на число 7 (потому что модуль системы сравнений равен 7):
15x/7 ≡ 25/7 (mod 7).

4. Данные выражения можно упростить до:
2x ≡ 4 (mod 7).

5. Чтобы решить полученное сравнение, нам нужно найти число x, удовлетворяющее условию 2x ≡ 4 (mod 7). Поскольку мы имеем дело с небольшими числами, мы можем просто перебрать возможные значения x и проверить, какие из них удовлетворяют условию.

Приращение, при котором мы будем проверять x, должно быть равно модулю (в данном случае 7), чтобы убедиться, что мы не пропускаем решения. Мы также можем ограничиться значениями x от 0 до 6, так как все числа по модулю 7 повторяются через каждые 7 единиц.

Рассмотрим последовательно каждое возможное значение x:
- При x = 0, мы имеем 2*0 ≡ 0 (mod 7), что не удовлетворяет условию.
- При x = 1, мы имеем 2*1 ≡ 2 (mod 7), что не удовлетворяет условию.
- При x = 2, мы имеем 2*2 ≡ 4 (mod 7), что удовлетворяет условию.
- При x = 3, мы имеем 2*3 ≡ 6 (mod 7), что не удовлетворяет условию.
- При x = 4, мы имеем 2*4 ≡ 1 (mod 7), что не удовлетворяет условию.
- При x = 5, мы имеем 2*5 ≡ 3 (mod 7), что не удовлетворяет условию.
- При x = 6, мы имеем 2*6 ≡ 5 (mod 7), что не удовлетворяет условию.

Таким образом, единственным решением сравнения 3x ≡ 5 (mod 7) является x = 2.