№394 Ю.М. Колягин , 10 класс. При делении многочлена поочередно на двучлены (х+2), (х-3), (х+4) в остатке получаются соответственно числа 6,26,12. Найти остаток при делении этого многочлена на (х+2)*(х-3)*(х+4)
Максимально подробно, используя теорию только данного учебника

x²+3x+8

Пошаговое объяснение:

Пусть рассматриваемый многочлен P(x)=Q(x)*(х+2)*(х-3)*(х+4)+ax²+bx+c, т.е. P(x) даёт остаток ax²+bx+c при делении на (х+2)*(х-3)*(х+4) [степень делителя равна 3, а значит степень остатка не может быть выше 2].

Тогда, по теореме Безу, из условия имеем:

6=P(-2)=a*(-2)²+b*(-2)+c=4a-2b+c (1)

26=P(3)=a*3²+b*3+c=9a+3b+c (2)

12=P(-4)=a*(-4)²+b*(-4)+c=16a-4b+c (3)

Вычитая из (3) удвоенное (1), получим

0=8a-c => c=8a (4)

(2) и (1) примут вид:

26=17а+3b (5)

6=12a-2b => b=6a-3 (6)

С учётом (5), получим

26=17а+18а-9 => 35=35а => а=1

Подставляя полученные данные в (4), получим c=8

Из (6) имеем b=3.

Отсюда искомый остаток равен

x²+3x+8