25 !
из вершины прямого угла c треугольника a b c проведены высота c h , биссектриса c k и медиана c m . известно, что h k = 3 и k m = 5 . найдите стороны треугольника a b c и длину биссектрисы c k .

ответ:

пусть ah=y, mb=x. так как ch - высота из прямого угла, то ac=\sqrt{y\times(y+8+x), более того x=y+8, значит, ac=\sqrt{2x(x-8)}, аналогично bc=\sqrt{2x(x+8)}. так как ck - биссектриса, то \frac{\sqrt{2x(x-8})}{\sqrt{2x(x+8)}}=\frac{ak}{kb}= \frac{x-5}{x+5} \rightarrow \frac{x-8}{x+8}=\frac{(x-5)^2}{(x+5)^2}\rightarrow x=10, откуда катеты: ac=2\sqrt{10},\; bc=6\sqrt{10}.

ch=\sqrt{ah\times hb}=\sqrt{2\times 18}=6; по теореме пифагора:

ck=\sqrt{6^2+3^2}=3\sqrt{5}

пошаговое объяснение: