2. Исследуйте функцию на монотонность и найдите её экстремумы

y=x^3+3x^2-9x+1

Функция убывает: х ∈ (-3;1)

Функция возрастает: х ∈ (-∞;-3)∪(1;+∞)

х₁=-3 - точка максимума

х₂=1 - точка минимума.

Пошаговое объяснение:

y=x³+3x²-9x+1

1. область определения функции

х∈R

2. Найдём производную функции f′(x).

f′(x) = 3х²+6х-9

3.Найдём критические точки, т.е. точки, в которых производная обращается в нуль или не существует (нули производной,).

3х²+6х-9=0,  х²+2х-3=0.

х₁=-3, х₂=1 - критические точки

4. Исследуем знак производной в промежутках, на которые найденные критические точки делят область определения функции f(x). Если на промежутке f′(x)<0, то на этом промежутке функция убывает; если на промежутке f′(x)>0, то на этом промежутке функция возрастает.

Функция убывает: х ∈ (-3;1)

Функция возрастает: х ∈ (-∞;-3)∪(1;+∞)

Если в окрестности критической точки f′(x) меняет знак с «+» на «-», то эта точка является точкой максимума, если с «-» на «+», то точкой минимума.

х₁=-3 - точка максимума

х₂=1 - точка минимума.