2. через прямую, заданную общими уравнениями:

{
x-3y+5z-3=0
2x+y-3z-5=0

надо провести плоскость, проходящую через точку м (2,1,1). найти уравнение искомой плоскости.

а) 2 + 3 + 10 − 1 = 0.

b) 5 − 8 + 12 − 14 = 0.

c) 5 + 8 − 12 + 4 = 0.

d) 3 + 2 + 10 − 3 = 0.

Для решения данной задачи, нам необходимо найти уравнение плоскости, проходящей через данную точку (2,1,1) и заданную прямую, заданную общими уравнениями.

Шаг 1: Найдем направляющий вектор прямой. Для этого возьмем коэффициенты перед переменными x, y, z в общих уравнениях прямой. То есть направляющий вектор будет равен (1, -3, -5)

Шаг 2: Создадим вектор нормали плоскости, который должен быть перпендикулярен направляющему вектору прямой. Для этого составим систему уравнений, где вектор нормали будет равен (A, B, C):

A * 1 + B * (-3) + C * (-5) = 0 (так как вектор нормали перпендикулярен направляющему вектору прямой)
A + B - 3C = 0 (Уравнение 1)
A - 3B - 5C = 0 (Уравнение 2)

Шаг 3: Решим систему уравнений для нахождения коэффициентов A, B, C.
Мы можем применить метод Гаусса или метод Крамера для решения этой системы. В данном случае, для упрощения процесса решения, воспользуемся методом подстановки.

Из Уравнения 1, A = 3C - B (Уравнение 3)
Подставим Уравнение 3 в Уравнение 2:
(3C - B) - 3B - 5C = 0
-4B - 2C = 0
-2B - C = 0 (Уравнение 4)

Подставим Уравнение 4 в Уравнение 3:
A = 3C - (-2B) = 3C + 2B

Таким образом, мы сократили количество переменных в системе уравнений.

Шаг 4: Зададим условие для нахождения A, B, C. Используя данное условие, мы можем найти искомое уравнение плоскости.
Условие: Плоскость проходит через точку (2,1,1)

Подставим координаты точки (2,1,1) в уравнение плоскости:
A * 2 + B * 1 + C * 1 + D = 0

Шаг 5: Найдем коэффициент D, используя найденные ранее значения A, B, C и точку (2,1,1):

3C + 2B * 2 + B * 1 + C * 1 + D = 0
6B + 4C + B + C = -6C -5B

-5B + 7C = -6

Шаг 6: Таким образом, имея найденные значения A, B, C и D, мы можем записать уравнение плоскости, проходящей через точку (2,1,1) и прямую, заданную общими уравнениями:

3C + 2B * x + B * y + C * z + D = 0
3C + 2B * 2 + B * 1 + C * 1 + D = 0

-5B + 7C = -6

Ответ: Уравнение искомой плоскости имеет вид: 3C + 2B * x + B * y + C * z -5B + 7C = -6