2-6х-2х^3+x^2 найти экстремумы

Чтобы найти экстремумы функции, нужно сначала найти ее производную и приравнять ее к нулю. Затем решить получившееся уравнение для нахождения значений x, в которых производная равна нулю. Эти значения x будут являться точками экстремума.

Данная функция имеет вид: f(x) = 2 - 6x - 2x^3 + x^2

1. Возьмем производную f'(x) этой функции. Для этого используем правила дифференцирования:

f'(x) = d/dx (2) - d/dx (6x) - d/dx (2x^3) + d/dx (x^2)

f'(x) = 0 - 6 - 6x^2 + 2x

2. Приравняем производную к нулю и решим уравнение:

0 = -6 - 6x^2 + 2x

6x^2 - 2x - 6 = 0

3. Решим полученное квадратное уравнение. Для этого используем метод дискриминанта:

D = b^2 - 4ac
D = (-2)^2 - 4 * 6 * (-6)
D = 4 + 144
D = 148

4. Найдем корни уравнения, используя формулу:

x = (-b ± √D) / 2a
x = (-(-2) ± √148) / 2 * 6
x = (2 ± √148) / 12

5. Упростим полученные значения:

x1 = (2 + √148) / 12
x2 = (2 - √148) / 12

6. Таким образом, нашли две точки экстремума функции. Но чтобы определить, являются ли они точками минимума или максимума, нужно проанализировать поведение функции в окрестности каждой точки.

Для этого произведем вторую производную и подставим найденные значения x:

f''(x) = d^2/dx^2 (f(x))

f''(x) = 0 - 0 + 12x - 2

Подставим x1 и x2 в эту формулу и посмотрим, что получится:

Для x1:
f''(x1) = 12 * (2 + √148) / 12 - 2 = 2 + √148 - 2 = √148 > 0

Для x2:
f''(x2) = 12 * (2 - √148) / 12 - 2 = 2 - √148 - 2 = -√148 < 0

На основе данного анализа, можно сделать следующие выводы:

- Точка x1 = (2 + √148) / 12 является точкой минимума функции, так как производная в этой точке положительна.
- Точка x2 = (2 - √148) / 12 является точкой максимума функции, так как производная в этой точке отрицательна.

Таким образом, точки экстремума данной функции - это точка минимума (x1) и точка максимума (x2).