13. Для того чтобы треугольники KOP и Noм были равны,
необходимо, чтобы выполнялось еще равенство
K
P.
М.
N​

Чтобы треугольники KOP и NOM были равными, необходимо, чтобы выполнялось еще следующее равенство: KP = MN.

Давайте разберемся пошагово, как можно доказать это утверждение:

1. Рассмотрим треугольники KOP и NOM.

2. В треугольниках KOP и NOM есть две стороны, которые совпадают: KN и NO. Почему они совпадают? Потому что эти отрезки являются биссектрисами углов OPK и POM соответственно. Биссектриса угла делит его на два равных угла, а значит, углы NOP и OKP равны.

3. Теперь обратим внимание на третью сторону каждого из треугольников, которая не совпадает: KP и MN. Если треугольники KOP и NOM равны, значит, их стороны должны быть равными.

4. Возьмемся за доказательство равенства сторон KP и MN. Давайте рассмотрим две пары равных углов, NOP и OKP, а также MNO и OPM.

5. От противного предположим, что KP ≠ MN. То есть, стороны KP и MN не равны.

6. Теперь давайте построим отрезок OP, который совпадает себе сам по прямой. Так как точки O и O совпадают, то длина отрезка OP равна нулю. Таким образом, мы построили прямую, на которой отметили точки K, O, и P.

7. Теперь применим к построенному треугольнику KOP свойство равенства треугольников по двум сторонам и включенному углу (ССУ). С учетом равных углов NOP и OKP, а также равенства сторон NK и NO, мы можем заключить, что треугольники KOP и NOP равны.

8. Так как треугольники KOP и NOP равны, то их стороны также должны быть равными. А это означает, что KP = NO.

9. Если KP = NO, а мы предположили, что KP ≠ MN, то получается, что NO ≠ MN.

10. Но факт совпадения сторон NO и MN был дан в условии задачи, и мы пришли к противоречию.

11. Значит, наше предположение KP ≠ MN неверно, и должно быть верно равенство KP = MN.

Таким образом, для того чтобы треугольники KOP и NOM были равными, необходимо, чтобы выполнялось равенство KP = MN.