1. за некоторый период времени в перми в ночное время было совершено 125 преступлений, из которых оказалось 40 квартирных краж. за тот же промежуток времени в населенном пункте березняки в ночное время было совершено 102 преступления, среди которых оказалось 35 квартирных краж. проверить гипотезу о равенстве вероятностей совершения квартирных краж ночью в перми и березняках при уровне значимости a(альфа)=0,05. останется ли принятое решение в силе, если при тех же значениях частостей число преступлений, совершенных в этих городах возрастет в 10 раз?

Для проверки гипотезы о равенстве вероятностей совершения квартирных краж ночью в перми и березняках, мы можем воспользоваться критерием согласия Пирсона.

1. Сформулируем нулевую и альтернативную гипотезы:
H0: p1 = p2 (вероятность совершения квартирных краж ночью в Перми и березняках равны)
H1: p1 ≠ p2 (вероятность совершения квартирных краж ночью в Перми и березняках различаются)

2. Определим уровень значимости a = 0,05.

3. Для каждого населенного пункта вычислим ожидаемое количество квартирных краж ночью и ожидаемое количество остальных преступлений (не квартирных):
- Для Перми:
ожидаемое количество квартирных краж = (общее количество квартирных краж в Перми / общее количество преступлений в Перми) * общее количество преступлений за период в Березняках.
ожидаемое количество остальных преступлений = общее количество преступлений в Перми - ожидаемое количество квартирных краж.

- Для Березняков:
ожидаемое количество квартирных краж = (общее количество квартирных краж в Березняках / общее количество преступлений в Березняках) * общее количество преступлений за период в Перми.
ожидаемое количество остальных преступлений = общее количество преступлений в Березняках - ожидаемое количество квартирных краж.

4. Вычислим статистику критерия Пирсона:
X^2 = (наблюдаемое количество квартирных краж в Перми - ожидаемое количество квартирных краж в Перми)^2 / ожидаемое количество квартирных краж в Перми
+ (наблюдаемое количество остальных преступлений в Перми - ожидаемое количество остальных преступлений в Перми)^2 / ожидаемое количество остальных преступлений в Перми
+ (наблюдаемое количество квартирных краж в Березняках - ожидаемое количество квартирных краж в Березняках)^2 / ожидаемое количество квартирных краж в Березняках
+ (наблюдаемое количество остальных преступлений в Березняках - ожидаемое количество остальных преступлений в Березняках)^2 / ожидаемое количество остальных преступлений в Березняках

5. Проверим, считать ли полученную статистику X^2 значимой, сравнивая ее со значением из таблицы распределения χ^2 (хи-квадрат) с (2-1) * (2-1) = 1 степенями свободы (так как у нас две гипотезы о равенстве/неравенстве вероятностей):
если X^2 > X^2(0.05, 1), то мы отвергаем нулевую гипотезу, т.е. считаем, что вероятности совершения квартирных краж ночью в Перми и Березняках различаются с уровнем значимости 0.05.
если X^2 <= X^2(0.05, 1), то мы не можем отвергнуть нулевую гипотезу, т.е. считаем, что вероятности совершения квартирных краж ночью в Перми и Березняках равны с уровнем значимости 0.05.

---

Для оставшиейся части вопроса, где преступления увеличиваются в 10 раз:

1. Найдем новое ожидаемое количество преступлений в каждом населенном пункте умножив старое ожидаемое количество на 10.

2. Заново вычислим статистику критерия Пирсона с использованием новых данных.

3. Повторим проверку, считать ли полученную статистику X^2 значимой, сравнивая ее со значением из таблицы распределения χ^2 (хи-квадрат) с (2-1) * (2-1) = 1 степенями свободы (так как у нас две гипотезы о равенстве/неравенстве вероятностей):
если X^2 > X^2(0.05, 1), то мы отвергаем нулевую гипотезу, т.е. считаем, что вероятности совершения квартирных краж ночью в Перми и Березняках различаются с уровнем значимости 0.05.
если X^2 <= X^2(0.05, 1), то мы не можем отвергнуть нулевую гипотезу, т.е. считаем, что вероятности совершения квартирных краж ночью в Перми и Березняках равны с уровнем значимости 0.05.