1.Вероятности сдать каждый из трёх экзаменов экзаменационной сессии на “отлично” для студента равны, соответственно, р1=0,7; р2=0,65; р3=0,85. Определите вероятность того, что студент сдаст на “отлично”:
а) все три экзамена;
б) два экзамена;
в)хотя бы один экзамен.

2.В реке водятся пескари и караси. Утром после дождя при однократном закидывании удочки с вероятностью 0,2 попадается пескарь, и с вероятностью 0,1 — карась. Какова вероятность, что один раз забросив удочку, рыбак ничего не поймает?

3.На соревнованиях по художественной гимнастике участвуют: три гимнастки из России, три гимнастки из Украины и четыре гимнастки из Белоруссии. Порядок выступления определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что первой будет выступать гимнастка из России.

4.Саша дважды бросает игральный кубик. В сумме у него выпало 6 очков. Найти вероятность, что при первом броске выпало 3 очка.

5.Конкурс исполнителей проводиться в 3 дня. Всего заявлено 60 выступлений – по одному от каждой страны. В первый день 30 выступлений, остальные распределены поровну между оставшимися днями. Порядок выступления определяется жребием. Какова вероятность, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса?​

1.а) Чтобы студент сдал все три экзамена на "отлично", необходимо, чтобы каждый из экзаменов был сдан на "отлично". Поэтому вероятность того, что студент сдаст все три экзамена, равна произведению вероятностей сдачи каждого из экзаменов:
P(сдать все три экзамена) = P(сдать экзамен1) * P(сдать экзамен2) * P(сдать экзамен3) = 0,7 * 0,65 * 0,85 = 0,37775 (или округленно 0,378)

б) Чтобы студент сдал два экзамена на "отлично", необходимо, чтобы один из экзаменов был не сдан на "отлично", а остальные два были сданы на "отлично". Количество комбинаций, при которых студент сдаст два экзамена на "отлично", равно трем (например, если первый и второй экзамены сданы на "отлично", а третий нет, или если первый и третий экзамены сданы на "отлично", а второй нет, и т.д.). Поэтому вероятность того, что студент сдаст два экзамена на "отлично", равна сумме вероятностей каждой комбинации:
P(сдать два экзамена) = P(сдать экзамен1) * P(сдать экзамен2) * (1 - P(сдать экзамен3)) + P(сдать экзамен1) * (1 - P(сдать экзамен2)) * P(сдать экзамен3) + (1 - P(сдать экзамен1)) * P(сдать экзамен2) * P(сдать экзамен3) = 0,7 * 0,65 * (1 - 0,85) + 0,7 * (1 - 0,65) * 0,85 + (1 - 0,7) * 0,65 * 0,85 = 0,43275 (или округленно 0,433)

в) Чтобы студент сдал хотя бы один экзамен на "отлично", необходимо, чтобы хотя бы один из экзаменов был сдан на "отлично". Можно рассмотреть обратное событие - что студент не сдаст ни один экзамен на "отлично". Вероятность этого случая равна произведению вероятностей не сдать каждый из экзаменов:
P(не сдать ни один экзамен) = (1 - P(сдать экзамен1)) * (1 - P(сдать экзамен2)) * (1 - P(сдать экзамен3)) = (1 - 0,7) * (1 - 0,65) * (1 - 0,85) = 0,13725 (или округленно 0,137)
Тогда вероятность сдать хотя бы один экзамен на "отлично" равна:
P(сдать хотя бы один экзамен) = 1 - P(не сдать ни один экзамен) = 1 - 0,13725 = 0,86275 (или округленно 0,863)

2. Чтобы рыбак ничего не поймал, необходимо, чтобы при однократном закидывании удочки не попался ни пескарь, ни карась. Вероятность этого состояния равна произведению вероятностей не попасться каждой из рыб:
P(ничего не поймать) = (1 - P(попасться пескарь)) * (1 - P(попасться карась)) = (1 - 0,2) * (1 - 0,1) = 0,72 (или 72%)

3. Всего участников в соревнованиях по художественной гимнастике 10 (3+3+4). Порядок выступления гимнасток определяется жеребьёвкой, поэтому каждая гимнастка равновероятно может быть первой. Значит, вероятность того, что первой будет выступать гимнастка из России, равна количеству возможный вариантов, когда первой выступает гимнастка из России, деленному на общее количество возможных вариантов:
P(первая - гимнастка из России) = (количество гимнасток из России / общее количество гимнасток) = 3 / 10 = 0,3 (или 30%)

4. Для того чтобы в сумме выпало 6 очков при двух бросках игрального кубика, необходимо, чтобы на первом броске выпало 3 очка, а на втором броске - 3 очка. Рассмотрим все возможные варианты выпадения оочков при первом и втором броске. Всего возможно 36 (6 * 6) различных вариантов выпадения очков. Если рассмотреть только варианты, где в сумме выпадет 6 очков, получим, что таких вариантов 5: (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1). Таким образом, вероятность выпадения 3 очков при первом броске, при условии, что в сумме выпало 6 очков, равна 1/5 = 0,2 (или 20%)

5. Вероятность того, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса, можно найти, рассмотрев все возможные резульаты жеребьевки и посчитав количество вариантов, когда представитель России выступает в третий день. Всего возможных вариантов распределения выступлений по дням 3! (3 факториал) = 6. Распределение можно представить в виде следующей таблицы:

1 день | 2 день | 3 день |
Р | Р | P |
У | У | Р |
Р | P | Р |
У | Р | Р |
Р | У | Р |
П | Р | Р |

В таблице 4 из 6 вариантов (редкие) представления России попадают в третий день. То есть, вероятность того, что выступление представителя России состоится в третий день конкурса, равна 4/6 = 2/3 = 0,6667 (или округленно 0,667)