1. Точки А, В, С лежат на одной прямой, точка D не лежит на ней. Через каждые три точки проведена одна плоскость. Сколько различных плоскостей при этом получилось?

а) 2; б) 3; в) 1; г) 4; д) бесконечно много.

2. . Прямая а лежит в плоскости α и пересекает плоскость β. Каково взаимное расположение плоскостей α и β?

а) определить нельзя; б) они совпадают; в) имеют только одну общую точку; г) не пересекаются; д) пересекаются по некоторой прямой.

3. Прямая а параллельна плоскости α, точка М принадлежит этой плоскости. Выберете верное утверждение.

а) Точка М принадлежит прямой а;

б) любая прямая, проходящая через точку М, будет параллельна прямой а;

в) в плоскости α существует прямая, проходящая через точку М и параллельная прямой а;
4. Наклонная КL, проведённая из точки К к данной плоскости, равна 16 см. Чему равна проекция этой наклонной на плоскость, если угол между прямой КL и данной плоскостью равен 45?

1. Для решения данной задачи можно использовать комбинаторику. У нас даны 4 точки: A, B, C и D. Чтобы провести плоскость через каждые три точки, мы выбираем 3 точки из 4-х. Это можно сделать C(4,3) = 4 способами. Таким образом, получилось 4 различные плоскости. Ответ: г) 4.

2. В данной задаче требуется определить взаимное расположение плоскостей α и β при условии, что прямая а лежит в плоскости α и пересекает плоскость β. Если прямая а пересекает плоскость β, то плоскости α и β не параллельны. Таким образом, взаимное расположение плоскостей α и β - они пересекаются. Для полной информации, взаимное расположение двух плоскостей может быть задано пятью способами: совпадение, параллельность, пересечение по точке, пересечение по прямой или непересечение. Однако, в данном случае нам известно только про пересечение по прямой. Ответ: д) пересекаются по некоторой прямой.

3. В данной задаче утверждается, что прямая а параллельна плоскости α, и точка М принадлежит этой плоскости. Поставим себя в положение точки М. Если точка М принадлежит прямой а, то находится на ней. Если мы проведем любую прямую через точку М, она будет пересекать прямую а, так как они параллельны. Из этого следует, что любая прямая, проходящая через точку М, будет пересекать прямую а, а не быть параллельной ей. Таким образом, верное утверждение - а) Точка М принадлежит прямой а.

4. В данной задаче нам дана наклонная КL, проведенная из точки К к данной плоскости, ее длина равна 16 см, и угол между прямой KL и плоскостью равен 45 градусов. Нам нужно найти проекцию этой наклонной на плоскость. Проекция наклонной на плоскость составляет вектор, перпендикулярный этой плоскости. Так как угол между прямой KL и плоскостью равен 45 градусов, у нас есть прямоугольный треугольник с углом 45 градусов и гипотенузой 16 см (длина наклонной). По теореме Пифагора, стороны треугольника равны: а^2 + b^2 = c^2, где a и b - катеты треугольника, а c - гипотенуза. Так как у нас угол 45 градусов, то a = b. Подставим в формулу: a^2 + a^2 = c^2. Тогда 2a^2 = c^2 и a^2 = c^2/2. Таким образом, a = c/√2. Проекция этой наклонной на плоскость будет равна катету a, то есть a = c/√2 = 16/√2 = 8√2. Ответ: проекция этой наклонной на плоскость равна 8√2.