№1: решите уравнение (x2−x+1)2−10(x−4)(x+3)−109=0. в ответе укажите сумму его корней. № 2: число a при делении на 7 дает в остатке 2 или 4. в каком из этих случаев будет больше остаток от деления числа a2 на 7? в ответе укажите номер правильного ответа: 1 - если число aa при делении на 7 дает в остатке 2; 2 - если число aa при делении на 7 дает в остатке 4. № 3: два пешехода должны выйти навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 20 км. если первый выйдет на полчаса раньше второго, то он встретит второго пешехода через 2,5 ч после своего выхода. если второй выйдет на 1 ч раньше первого, то он встретит первого пешехода через 2 ч 40мин после своего выхода. какова скорость первого пешехода (в км/ч)? введите ответ: № 4: трехзначное число больше числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке, на 495. сумма цифр этого трехзначного числа равна 17, а сумма квадратов его цифр равна 109. найти такое трехзначное число. № 5: при каких значениях параметра bb корень уравнения 6−3b+4bx=4b+12x меньше 11? выберите вариант ответа: b< 67b< 67 b< −2; b> 3b< −2; b> 3 −2 № 6: диагональ равнобедренной трапеции является биссектрисой острого угла, а основания относятся как 1: 2. периметр трапеции равен 90. найдите большую сторону трапеции. № 7: четырехугольник pqrspqrs вписан в окружность. диагонали pr и qsперпендикулярны и пересекаются в точке m. известно, что ps=13, qm=10, qr=26. найти площадь четырехугольника pqrspqrs.

№ 1:

решите уравнение (x^2−x+1)^2−10(x−4)(x+3)−109=0. в ответе укажите сумму его корней.

(x^2-x+1)^2-10(x-4)(x+3)-109=0

(x^2-x+1)^2-10(x^2-x-12)-109=0

замена x^2-x+1=a

a^2-10(a-13)-109=0

a^2-10a+130-109=0

a^2-10a+21=0

(a-3)(a-7)=0

a=3

a=7

x^2-x+1=3

x^2-x-2=0

d=1+4*2> 0, корни есть

x1+x2=1

x^2-x+1=7

x^2-x-6=0

d=1+4*6> 0, корни есть

x3+x4=1

x1+x2+x3+x4=1+1=2

ответ: 2

№ 2:

число a при делении на 7 дает в остатке 2 или 4. в каком из этих случаев будет больше остаток от деления числа a^2 на 7?

первый случай обозначим за х x=7k+2

второй случай обозначим за у y=7k+4

x^2=49k^2+28k+4=7(7k^2+4k)+4 - остаток 4

y^2=49k^2+56k+16=7(7k^2+8k++2)+2 - остаток 2

4> 2, больший остаток найден

ответ: 1 (остаток 2)

№ 3:

два пешехода должны выйти навстречу друг другу из двух пунктов, расстояние между которыми 20 км. если первый выйдет на полчаса раньше второго, то он встретит второго пешехода через 2,5 ч после своего выхода. если второй выйдет на 1 ч раньше первого, то он встретит первого пешехода через 2 ч 40 мин после своего выхода. какова скорость первого пешехода (в км/ч)?

пусть х  скорость первого (ее надо найти), у скорость второго

имеем систему

2.5x+2y=20 // так как первый шел 2,5 часа и вышел на полчаса раньше, то второй шел 2 часа

5x/3+8y/3=20 // так как второй шел 2 ч 40 мин и вышел на часраньше, то первый шел 1 ч 40 мин

5x+4y=40

5x+8y=60

4y=20

y=5

2.5x+2*5=20

2.5x=10

x=4

ответ: 4

№ 4:

трехзначное число больше числа, записанного теми же цифрами, но в обратном порядке, на 495. сумма цифр этого трехзначного числа равна 17, а сумма квадратов его цифр равна 109. найти такое трехзначное число.

это число abc

система:

100a+10b+c=100c+10b+c+495

a+b+c=17

a^2+b^2+c^2=109

a=c+5

c+5+b+c=17

(c+5)^2+b^2+c^2=109

b+2c=12

c^2+10c+25+b^2+c^2=109

b=12-2c

2c^2+10c+b^2-84=0

2c^2+10c+(12-2c)^2-84=0

2c^2+10c+144-48c+4c^2-84=0

6c^2-38c+60=0

3c^2-19c+30=0

d=361-4*3*30=1

c=(19+1)/6=20/6 не натуральное

c=(19-1)/6=3

b=12-2*3=6

a=3+5=8

ответ: 863

№ 5:

при каких значениях параметра b корень уравнения 6−3b+4bx=4b+12x меньше 1?

6-3b+4bx=4b+12x

4bx-12x=4b-6+3b

(4b-12)x=7b-6

x=(7b-6)/(4b-12)

(7b-6)/(4b-12)< 1

(7b-6-4b+12)/(4b-12)< 0

(3b+6)/(4b-12)< 0

(b+2)/(b-3)< 0

промежуток между корнями  (-2; 3)

ответ: (-2; 3)

№ 6:

диагональ равнобедренной трапеции является биссектрисой острого угла, а основания относятся как 1: 2. периметр трапеции равен 90. найдите большую сторону трапеции.

меньшее основание х, большее основание 2х

если острый угол при основании 2а, то его половина, отсеченная биссектрисой а

сумма острого и тупого угла равнобедренной трапеции равна 180 градусов, значит тупой угол (180-2а)

теперь рассматриваем треугольник (со сторонами боковая сторона трапеции, ее меньшее основание и диагональ) с двумя известными углами а и (180-2а), находим третий угол - а - треугольник равнобедренный

боковыми сторонами этого треугольника являются боковая сторона трапеции и ее меньшее основание

значит и боковые стороны трапеции равны х

записываем периметр

х+х+х+2х=90

5х=90

х=18

большая сторона 2х=36

ответ: 36

№ 7:

четырехугольник pqrs вписан в окружность. диагонали pr и qs перпендикулярны и пересекаются в точке m. известно, что ps=13, qm=10, qr=26. найти площадь четырехугольника pqrs.

углы prq и psq опираются на одну и ту же дугу, значит они равны. кроме того диагонали перпендикулярны, значит в частности углы pms и rmq равны

тогда треугольники pms и rmq подобны

k=qr/ps=2

отношение k=qm/pm=2

10/pm=2; pm=5

отношение k=rm/sm=2

находим rm по т. пифагора

rm=корень(qr^2-qm^2)=корень(26^2-10^2)=24

24/sm=2; sm=12

тогда полные диагонали:

qs=qm+sm=10+12=22

pr=pm+rm=5+24=29

площадь четырехугольника равна их диагоналей на синус угла между ними

s=(1/2)*22*29*sin90=319

ответ: 319