1) Ребро куба равно а. Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей одной из граней до вершин противолежащей ей грани.

2) Грани DAB и DAC тетраэдра ABCD – прямоугольные треугольники с прямыми углами при точке А. Докажите, что рёбра ВС и AD взаимно перпендикулярны.

1) Чтобы решить эту задачу, нам нужно описать каждый шаг поиска расстояния от точки пересечения диагоналей одной из граней до вершин противолежащей ей грани.

Для начала, давайте представим себе куб. Куб имеет 6 граней, каждая из которых является квадратом. Давайте выберем одну из этих граней и обозначим ее как ABCD, где A и B - соседние вершины, и AC - диагональ этой грани.

Теперь мы должны найти вершину, противолежащую грани ABCD. Очевидно, это вершина, которая не принадлежит этой грани. Давайте обозначим эту вершину как E.

Для начала, давайте найдем точку пересечения диагоналей грани ABCD. Расстояние от этой точки до вершины E - это то, что нам нужно найти.

Чтобы найти эту точку пересечения, мы можем использовать свойство куба, что диагонали квадратов пересекаются под прямым углом в их середине. Поскольку AC - диагональ грани ABCD, мы можем найти ее середину, используя следующую формулу:

Xср = (Xa + Xc)/2
Yср = (Ya + Yc)/2
Zср = (Za + Zc)/2

Где Xa, Ya, Za - координаты вершины А, а Xc, Yc, Zc - координаты вершины C.

Теперь у нас есть координаты точки пересечения диагоналей AC. Обозначим эти координаты как X, Y, Z.

Теперь нам нужно найти расстояние от этой точки до вершины E, которая противолежит грани ABCD. Мы можем использовать формулу для нахождения расстояния между двумя точками в трехмерном пространстве:

d = sqrt((Xe - X)^2 + (Ye - Y)^2 + (Ze - Z)^2)

Где Xe, Ye, Ze - координаты вершины E.

Таким образом, мы получаем расстояние от точки пересечения диагоналей одной из граней до вершины противолежащей ей грани.

2) Чтобы доказать, что ребра ВС и AD тетраэдра ABCD взаимно перпендикулярны, нам нужно использовать свойства прямоугольных треугольников, а именно то, что в прямоугольном треугольнике прямой угол является прямым.

Для начала, мы знаем, что грани DAB и DAC являются прямоугольными треугольниками. Нам нужно доказать, что ребра ВС и AD перпендикулярны.

Мы можем использовать определение перпендикулярности, которое говорит, что если две прямые перпендикулярны, то их углы при пересечении являются прямыми.

Мы видим, что ребра BC и AC являются гранями тетраэдра ABCD. Мы знаем, что грани DAB и DAC являются прямоугольными треугольниками, поэтому угол BAC будет прямым углом.

Также у нас есть ребро AD тетраэдра ABCD, которое является одной из сторон прямоугольного треугольника DAB. Мы знаем, что угол DAB также является прямым углом.

Теперь мы убедились, что ребра ВС и AD содержат прямые углы при точке A, а значит они взаимно перпендикулярны.

Таким образом, мы доказали, что ребра ВС и AD взаимно перпендикулярны.