1. Постройте сечение куба ABCDA1B1C1D1 плоскостью, проходящей через ребро СС1 и точку пересечения диагоналей грани AA1D1A. Найдите периметр построенного сечения, если ребро куба равно 2 см.

2. Плоскость, параллельная стороне АВ треугольника ABC, пересекает сторону АС в точке A1, сторону ВС — в точке B1. Найдите отрезок A1B1, если АВ = 25 см, AA1 : A1С = 2:3.

3. Через сторону KN прямоугольника KLMN проведена плоскость так, что длина проекции одной из сторон прямоугольника на эту плоскость равна 4 см. Найдите длину проекции диагонали КМ на эту плоскость, если KL = 12 см, LM = 3 см.

4. Из точки А проведены к данной плоскости две наклонные, равные 2 см, угол между которыми равен 60°, а угол между их проекциями прямой. Найдите расстояние от точки А до данной плоскости.

1. Чтобы построить сечение куба, проходящее через ребро СС1 и точку пересечения диагоналей грани AA1D1A, нужно взять циркуль и отмерить от точки пересечения диагоналей расстояние равное половине длины ребра куба, то есть 1 см. Затем, используя это расстояние как радиус, провести дугу окружности с центром в точке пересечения диагоналей. Далее, провести прямую через ребро СС1, пересекающую построенную дугу в двух точках. Эти точки являются вершинами периметра искомого сечения. Соединив вершины построенной фигуры, получаем нужное сечение куба. Чтобы найти периметр этого сечения, нужно сложить длины сторон этой фигуры. Для этого измерим длины сторон по построенной фигуре, а затем сложим полученные значения.

2. Чтобы найти отрезок A1B1, нужно знать длину стороны АВ треугольника ABC и отношение длин отрезков AA1 и A1С. Поскольку дано, что АВ равно 25 см, а отношение длин AA1 и A1С равно 2:3, можно найти длину каждого отрезка. Для этого нужно разделить длину АВ на сумму коэффициентов отношения (2+3=5) и умножить результат на соответствующий коэффициент. То есть: длина AA1 = (25/5) x 2 = 10 см и длина A1С = (25/5) x 3 = 15 см. Итак, мы нашли длину отрезка A1С. Чтобы найти отрезок A1B1, нужно просуммировать длины отрезков AA1 и A1С.

3. Чтобы найти длину проекции диагонали КМ на плоскость, нужно воспользоваться подобием прямоугольников. Дано, что длина проекции одной из сторон прямоугольника на плоскость равна 4 см, а длины сторон KL и LM равны 12 см и 3 см соответственно. Мы знаем, что отношение длин проекций сторон прямоугольника равно отношению длин этих сторон. То есть: проекция стороны KN : проекция стороны KL = сторона KN : сторона KL. Заменив известными значениями, получаем: 4 : Х = 12 : 3, где Х - искомая длина проекции диагонали КМ. Решая эту пропорцию, находим Х. Чтобы найти длину проекции диагонали КМ, нужно вычислить гипотенузу прямоугольного треугольника, в котором катеты равны 12 и Х.

4. Чтобы найти расстояние от точки А до плоскости, используем соотношение между наклонными и их проекциями на плоскость. Зная, что наклонные равны 2 см, угол между ними 60°, и угол между их проекциями прямой (что означает, что проекция наклонных также образуют 60° между собой), мы можем использовать связь между сторонами и проекциями треугольников, чтобы найти длину одной из проекций наклонных. Затем, используя теорему Пифагора, вычисляем длину другой проекции и находим гипотетическую сторону треугольника. Наконец, используя тригонометрию и известные углы, находим искомое расстояние от точки А до плоскости.