1.Найдите длину вектора 2a+хb, если |a|=2x-30 , |b|=2, угол между векторами =120 градусов

2.Найдите площадь параллелограмма, построенного на векторах xa+2b и a-xb, если |a| = 3, |b|=2, угол между векторами 60 градусов

3. Определите, при каких значениях a(альфа) и B(бета) вектор аi+3j+Bk будет перпендикулярен вектору а x b, если а=(х-10;-1;1) и b=(1; x-12;0)

4. Определите, при каком значении a(альфа) векторы а = ( а(альфа) ; 3;1), b=(5;-1;2), c=(-1;5;x-5) будут компланарны

5. Найдите объем пирамиды, заданной координатами своих вершин и

высоту, опущенную из вершины D на плоскость основания ABC, Пр AC к AD, A(2;x-15;1), В(5;x;4), С(3;2;-1), D(x-5;1;3);

1. Длина вектора 2a+хb можно найти с помощью формулы длины вектора:
|2a+хb| = √((2a+хb) * (2a+хb))
= √(4a^2 + 4axb + х^2b^2)

Заметим, что a = |a| * n, где n - единичный вектор направления a.

Таким образом, a = (2x-30) * n, где n - единичный вектор направления a.

Также, |b| = 2, следовательно, b = 2 * m, где m - единичный вектор направления b.

Таким образом, b = 2 * m.

Известно, что угол между векторами a и b равен 120 градусам. По определению скалярного произведения векторов, имеем:

a * b = |a| * |b| * cos(угол между a и b)
(2x-30) * 2 * cos(120) = -60x + 900
cos(120) = -0.5
-0.5 * 2x - (-0.5) * 30 * 2 = -60x + 900
-x - 30 = -60x + 900
59x = 930
x = 15

Подставляем значение x обратно в формулу для длины вектора:

|2a+хb| = √(4(2x-30)^2 + 4x(2)^2)
= √(4(2*15-30)^2 + 4*15(2)^2)
= √(4*0^2 + 4*15*4)
= √(240)
≈ 15.49

Таким образом, длина вектора 2a+хb при x = 15 будет примерно равна 15.49.

2. Для нахождения площади параллелограмма, построенного на векторах xa+2b и a-xb, нужно вычислить векторное произведение этих двух векторов.

Сначала вычислим каждый из этих векторов:
xa+2b = x(2x-30) + 2(2)
= 2x^2 - 30x + 4

a-xb = (2x-30) - 2(2)
= 2x - 30 - 4
= 2x - 34

Теперь вычислим векторное произведение:

(xa+2b) x (a-xb) = (2x^2 - 30x + 4) x (2x - 34)

Для нахождения векторного произведения векторов a и b в трехмерном пространстве, используется формула:
(a x b) = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)
где ai и bi - координаты векторов a и b соответственно.

Подставим значения координат из векторов (2x^2 - 30x + 4) и (2x - 34) и получим:

(2x^2 - 30x + 4) x (2x - 34) = (2x - 34, 2x - 34, (2x^2 - 30x + 4)(2x - 34))

Чтобы найти площадь параллелограмма, нужно найти длину полученного вектора, которая равна:

S = √((2x - 34)^2 + (2x - 34)^2 + (2x^2 - 30x + 4)(2x - 34))

Раскроем квадраты и домножим (2x - 34) на каждый из суммандов в выражении (2x - 34)^2:

S = √(4x^2 - 136x + 1156 + 4x^2 - 136x + 1156 + (2x^2 - 30x + 4)(2x - 34))

Теперь упростим:

S = √(4x^2 - 272x + 2312 + 4x^2 - 832x + 2312 + (4x^3 - 68x^2 - 60x^2 + 1020x + 8x - 136 - 68x + 1156))

S = √(8x^2 - 1104x + 4636 + 4x^2 - 132x + 1156 + 4x^3 - 128x^2 + 1936x - 128x + 1156)

S = √(4x^3 - 120x^2 - 108x + 10312)

Таким образом, площадь параллелограмма, построенного на векторах xa+2b и a-xb, равна √(4x^3 - 120x^2 - 108x + 10312).

3. Для того чтобы вектор аi+3j+Bk был перпендикулярен вектору а x b, их скалярное произведение должно быть равно нулю:

(a i + 3j + Bk) * (а x b) = 0

Вычислим левую и правую части уравнения отдельно.

Левая часть:
(a i + 3j + Bk) * (а x b) = (х - 10)i - j + k * ((1)(x - 12) - (x - 10)(0)) + (3)((0)(x - 12) - (1)(1)) + B((0)(0) - (1)(x - 12))
= (х - 10)i - j + k * (x - 12 - x + 10) + 3
= (х - 10)i - j + k * (-2) + 3
= (х - 10)i - j - 2k + 3

Правая часть:
а x b = (х - 10)i - j * (x - 12)k - (1)(0)i + (1)(1)j - (x - 10)(0)k
= (х - 10)i - j - (1)(0)i + (1)(1)j
= (х - 10)i - j - i + j
= (х - 11)i

Теперь приравняем левую и правую части уравнения:

(х - 10)i - j - 2k + 3 = (х - 11)i

Приравниваем коэффициенты при соответствующих базисных векторах:

х - 10 = х - 11

Отнимаем х от обеих сторон уравнения и домножаем на -1:

10 - 11 = 0

Таким образом, вектор аi+3j+Bk будет перпендикулярен вектору а x b при произвольных значениях a и B.

4. Для того чтобы векторы а, b и c были компланарны, их смешанное произведение должно быть равно нулю:

(а x b) * c = 0

Вычислим левую и правую части уравнения отдельно.

Левая часть:
(а x b) * c = ((а(альфа) * (-1) - 3(5), а(альфа)(2) - (-1)(1), 3(5) - (-1)(2))) * (-1, 5, x - 5)
= (-а(альфа) - 15 + 6, 2а(альфа) + 1, 15 - 2) * (-1, 5, x - 5)
= (-а(альфа) - 9, 2а(альфа) + 1, 13) * (-1, 5, x - 5)
= 9а(альфа) + а(альфа) + 5(2а(альфа) + 1) + 13(x - 5)
= 9а(альфа) + а(альфа) + 10а(альфа) + 5 + 13x - 65
= 20а(альфа) + а(альфа) + 13x - 60

Правая часть:
0

Теперь приравняем левую и правую части уравнения:

20а(альфа) + а(альфа) + 13x - 60 = 0

Выносим общий множитель а(альфа):

21а(альфа) + 13x - 60 = 0

Отнимаем 13x от обеих сторон уравнения и домножаем на -1:

21а(альфа) = 60 - 13x

Делим обе стороны на 21:

а(альфа) = (60 - 13x) / 21

Таким образом, значения a(альфа), при которых векторы а = ( а(альфа) ; 3;1), b=(5;-1;2) и c=(-1;5;x-5) компланарны, равны (60 - 13x) / 21.

5. Для нахождения объема пирамиды, заданной координатами своих вершин и высотой опущенной из вершины D на плоскость основания ABC, нужно использовать формулу:

V = (1/3) * S * h,
где S - площадь основания ABC, а h - высота пирамиды.

Первым делом найдем площадь основания ABC. Для этого построим вектора AB и AC и найдем их векторное произведение.

AB = B - A = (5 - 2, x - (x - 15), 4 - 1) = (3, 15, 3)
AC = C - A = (3 - 2, 2 - (x - 15), -1 - 1) = (1, 17 - x, -2)

Теперь найдем их векторное произведение:

AB x AC = (15(-2) - 3(17 - x), 3(-2) - 1(15), 3(17 - x) - 1(1))
= (-36 - 51 + 3x, -6 - 15, 51 - 3x - 1)
= (-87 + 3x, -21, 50 - 3x)

Найдем площадь основания ABC, используя модуль вектора, полученного в результате векторного произведения:

S = |AB x AC| = √((3x - 87)^2 + (-21)^2 + (50 - 3x)^2)

Теперь найдем высоту пирамиды. Для этого можно использовать понятие проекции вектора AD на вектор AB. Полученная проекция будет равна h.

AD = D - A = (x - 5 - 2, 1 - (x - 15), 3 - 1) = (x - 7, 16 - x, 2)
h = |AD| * cos(угол между AD и AB)
= √((x - 7)^2 + (16 - x)^2 + 2^2) * cos(угол между AD и AB)

Чтобы найти угол между AD и AB, воспользуемся формулой скалярного произведения векторов:
AD * AB = |AD| * |AB| * cos(угол между AD и AB)

Расписываем скалярное произведение:
(x - 7)(3) + (16 - x)(15) + 2(3x - 87)

Теперь приравняем это значение к произведению модулей векторов AD и AB:
(x - 7)(3) + (16 - x)(15) + 2(3x - 87) = √((x - 7)^2 + (16 - x)^2 + 2^2) * |AB|

Таким образом, объем пирамиды, заданной координатами своих вершин и высотой оещей из вершины D на плоскость основания ABC, равен:
V = (1/3) * S * h = (1/3) * √((3x - 87)^2 + (-21)^2 + (50 - 3x)^2) * √((x - 7)^2 + (16 - x)^2 + 2^2) * |AB|.