1. Найдите боковую сторону равнобедренного треугольника, если центр вписанной в него окружности делит высоту, проведенную к основанию в отношении 7:4,считая от вершины, а основание равно 36,8см.

Для решения данной задачи нам потребуется использовать свойства равнобедренного треугольника, а также формулу высоты и свойства вписанной окружности.

Пусть высота, проведенная к основанию, равна h, а боковая сторона равнобедренного треугольника обозначена как a.

Согласно условию задачи, центр вписанной в треугольник окружности делит высоту в отношении 7:4, считая от вершины. Это значит, что отрезок, соединяющий вершину треугольника с центром вписанной окружности, делит высоту на две части, причем первая часть равна h * 7/11, а вторая часть равна h * 4/11.

С учетом этой информации, мы можем выразить высоту как сумму этих двух частей:
h = h * 7/11 + h * 4/11.

Для решения данного уравнения нужно избавиться от неизвестного h. Выполнив простейшие алгебраические преобразования, получим:
h = h * 7/11 + h * 4/11
11h = 7h + 4h
11h = 11h
h = 11h / 11
h = h

Таким образом, мы выяснили, что высота равнобедренного треугольника не изменится, и она равна h.

Используя формулу высоты, мы можем найти боковую сторону a равнобедренного треугольника:
a = 2 * (√(r^2 + h^2)),
где r - радиус вписанной окружности.

Для нахождения радиуса окружности, нам необходимо знать периметр треугольника и полупериметр треугольника, который мы можем выразить через основание треугольника:

Периметр треугольника равен сумме всех сторон:
P = 2a + b,
где b - основание треугольника.

Полупериметр треугольника можно вычислить следующим образом:
s = P/2,
где s - полупериметр.

Используя формулу радиуса вписанной окружности, которая равна площади треугольника, деленной на полупериметр, получаем:
r = √((s-a)(s-b)(s-b))/s.

Подставим найденное значение r и известные значения s и b в формулу для a:
a = 2 * √(r^2 + h^2).

Теперь, когда у нас есть все необходимые формулы, мы можем решить задачу.

1. Найдем полупериметр треугольника s:
s = P/2 = (2a + b)/2 = (2 * a + 36,8)/2 = a + 18,4.

2. Найдем радиус вписанной окружности r:
r = √((s-a)(s-b)(s-b))/s
= √((a + 18,4 - a)(a + 18,4 - 36,8)(a + 18,4))/ (a + 18,4)
= √((18,4 - a)(-18,4)(-18,4))/ (a + 18,4)
= √((-18,4 + a)(18,4)(18,4))/ (a + 18,4)
= (18,4 * √(18,4^2 - a^2))/(a + 18,4).

3. Найдем боковую сторону a:
a = 2 * √(r^2 + h^2)
= 2 * √(((18,4 * √(18,4^2 - a^2))/(a + 18,4))^2 + h^2)
= 2 * √((18,4^2 * (18,4^2 - a^2))/(a + 18,4)^2 + h^2).

В данной задаче мы не можем получить точное значение боковой стороны равнобедренного треугольника, так как наша формула содержит переменную a, которую нам нужно найти. Мы можем решить эту задачу в два шага:

1. Подставим изначальное значение b (36,8) в формулу для полупериметра s:

s = a + 18,4.

2. Затем, используя это значение s и известное значение a = 2 * √(r^2 + h^2), найдем значение a через итерации и применение метода подстановки:

- Предположим, что a = 10.
- Вычислим значение r с использованием формулы r = (18,4 * √(18,4^2 - a^2))/(a + 18,4).
- Подставим найденное значение r в формулу для a и вычислим новое значение a.
- Повторим этот процесс до достижения сходимости (получим очень близкое числовое значение для a).

Таким образом, школьник может использовать формулы и методы подстановки для нахождения значения боковой стороны равнобедренного треугольника. Важно отметить, что в данной задаче необходимо использовать приближенные числа (округленные до определенного количества знаков после запятой), так как у нас есть итерационный процесс.